【題目】如圖,點A在⊙O上,點P是⊙O外一點,PA切⊙O于點A,連接OP交⊙O于點D,作AB⊥OP于點C,交⊙O于點B,連接PB.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)若PC=9,AB=6 , ①求圖中陰影部分的面積;

【答案】
(1)證明:如圖1,連接OB,

∵OP⊥AB,OP經(jīng)過圓心O,

∴AC=BC,

∴OP垂直平分AB,

∴AP=BP,

∵OA=OB,OP=OP,

∴△APO≌△BPO(SSS),

∴∠PAO=∠PBO,

∵PA切⊙O于點A,

∴AP⊥OA,

∴∠PAO=90°,

∴∠PBO=∠PAO=90°,

∴OB⊥BP,

又∵點B在⊙O上,

∴PB與⊙O相切于點B;


(2)解:如圖1,

∵OP⊥AB,OP經(jīng)過圓心O,

∴BC= AB=3

∵∠PBO=∠BCO=90°,

∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°,

∴∠PBC=∠BOC,

∴△PBC∽△BOC,

∴OC= = =3,

∴在Rt△OCB中,OB= = =6,tan∠COB= = ,

∴∠COB=60°,

∴SOPB= ×OP×BC= × =18 ,SDOB= =6π,

∴S陰影=SOPB﹣SDOB=18 ﹣6π;

②若點E是⊙O上一點,連接AE,BE,當AE=6 時,BE=

3 ﹣3 或3 +3


【解析】②分兩種情況: i)當點E在 上時,如圖2,作直徑AF,交⊙O于F,連接EF、EB,過O作OG⊥AE于G,過F作FH⊥EB于H,

∴EG=AG= AE= × =3 ,
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠OAB=30°,
∴∠BEF=∠OAB=30°,
Rt△OGE中,由①知:OA=6,
∴OG= = =3
∴AG=OG,
∴△OGA是等腰直角三角形,
∴∠OAE=45°,
∴∠EBF=∠OAE=45°,
∵AF是⊙O的直徑,
∴∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴EF=AE=6 ,
Rt△EHF中,∠BEF=30°,
∴FH= EF=3
∴EH= = =3 ,
Rt△BHF中,∵∠EBF=45°,
∴△BHF是等腰直角三角形,
∴BH=FH=3 ,
∴BE=3 +3 ,
ii)當點E在劣弧 上時,如圖3,
作直徑AF,并⊙O于F,連接OB、OE、BF,過B作BH⊥OE于H,

∵AF為⊙O的直徑,
∴∠ABF=90°,
∵∠BAF=30°,
∴∠F=∠BOF=60°,
∵OA=OE=6,AE=6
∴OA2+OE2=AE2 ,
∴∠AOE=90°,
∴∠EOF=90°,
∴∠EOB=30°,
Rt△OHB中,BH= OB=3,
∴OH= =3 ,
∴EH=6﹣3 ,
∴BE= = = =3 ﹣3 ;
綜上所述,BE的長為3 +3 或3 ﹣3 ;
所以答案是:3 ﹣3 或3 +3
【考點精析】通過靈活運用垂徑定理和扇形面積計算公式,掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條;在圓上,由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形;扇形面積S=π(R2-r2)即可以解答此題.

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