Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為3 cm，P、Q分別從B、A出發(fā)沿BC，AD方向運(yùn)動，P點(diǎn)的運(yùn)動速度是1 cm/秒，Q點(diǎn)的運(yùn)動速度是2 cm/秒。連接AP并過Q作QE⊥AP垂足為E。

（1）求證：△ABP∽△QEA ；

（2）當(dāng)運(yùn)動時間t為何值時，△ABP≌△QEA；

（3）設(shè)△QEA的面積為y，用運(yùn)動時間t表示△QEA的面積y。（不要求考慮t的取值范圍）

（提示：解答（2）（3）時可不分先后）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)t取時△ABP與△QEA全等；（3）y=.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可；

（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理解答即可；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出函數(shù)解析式即可．

試題解析：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，∵QE⊥AP，∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°，∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ，∴△ABP∽△QEA（AA）；

（2）∵△ABP≌△QEA，∴AP=AQ（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；

在RT△ABP與RT△QEA中根據(jù)勾股定理得： ， ，即，解得=， =﹣（不符合題意，舍去）．

答：當(dāng)t=時，△ABP與△QEA全等．

（3）由（1）知△ABP∽△QEA，∴ ，∴，整理得： ．