【題目】已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△ACD中,AC=BC,∠ACB=90°,∠ADC=90°,CD=2,(點(diǎn)A、B分別在直線CD的左右兩側(cè)),射線CD交邊AB于點(diǎn)E,點(diǎn)G是Rt△ABC的重心,射線CG交邊AB于點(diǎn)F,AD=x,CE=y.
(1)求證:∠DAB=∠DCF.
(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.
(3)如果△CDG是以CG為腰的等腰三角形,試求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)AD=1或.
【解析】
(1)首先根據(jù)點(diǎn)G是Rt△ABC的重心,得出CF是Rt△ABC的中線.,又由AC=BC,∠ACB=90°,得出CF⊥AB,即∠AFC=90°,然后等量轉(zhuǎn)換即可得出∠DAB=∠DCF;
(2)首先判定△CAD≌△BCH,得出BH = CD,CH = AD,又根據(jù)∠ADC=∠BHC=90°,得出AD∥BH,進(jìn)而得出,列出等式,即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)分兩種情況進(jìn)行求解:①當(dāng)GC=GD時(shí),根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出MD=MC,進(jìn)而得出MG⊥CD,且直線MG經(jīng)過點(diǎn)B,那么BH與MG共線,即可得出AD;②當(dāng)CG=CD時(shí),CG=2,點(diǎn)G為△ABC的重心,然后運(yùn)用勾股定理即可得出AD.
(1)證明:∵點(diǎn)G是Rt△ABC的重心,
∴CF是Rt△ABC的中線.
又∵在Rt△ABC,AC=BC,∠ACB=90°,
∴CF⊥AB,即∠AFC=90°.
∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF,且∠ADE=∠EFC=90°,
∴∠DAB=∠DCF.
(2)解:如圖,過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H.
∴△CAD≌△BCH(ASA).
∴BH = CD = 2,CH = AD = x,DH = 2-x.
∵∠ADC=∠BHC=90°
∴AD∥BH.
∴.
,,.
.
(3)解:當(dāng)GC=GD時(shí),如圖1,
取AC的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)MD.那么MD=MC,
聯(lián)結(jié)MG,MG⊥CD,且直線MG經(jīng)過點(diǎn)B.那么BH與MG共線.
又CH=AD,那么AD=CH=.
當(dāng)CG=CD時(shí),如圖2,即CG=2,點(diǎn)G為△ABC的重心,
,AB=2CF=6,,
.
綜上所述,AD=1或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著地鐵和共享單車的發(fā)展,“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇.李華從文化宮站出發(fā),先乘坐地鐵,準(zhǔn)備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵,再騎共享單車回家.設(shè)他出地鐵的站點(diǎn)與文化宮距離為x(單位:千米),乘坐地鐵的時(shí)間y1(單位:分鐘)是關(guān)于x的一次函數(shù),其關(guān)系如下表:
地鐵站 | A | B | C | D | E |
x(千米) | 8 | 9 | 10 | 11.5 | 13 |
y1(分鐘) | 18 | 20 | 22 | 25 | 28 |
(1)求y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)李華騎單車的時(shí)間y2(單位:分鐘)也受x的影響,其關(guān)系可以用y2=x2-11x+78來描述,請(qǐng)問:李華應(yīng)選擇在哪一站出地鐵,才能使他從文化宮回到家所需的時(shí)間最短?并求出最短時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接與⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P,OF∥BC交AC于AC點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連接AF.
(1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為4,AF=3,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一般捕魚船在A處發(fā)出求救信號(hào),位于A處正西方向的B處有一艘救援艇決定前去數(shù)援,但兩船之間有大片暗礁,無法直線到達(dá).救援艇決定馬上調(diào)整方向,先向北偏東方以每小時(shí)30海里的速度航行,同時(shí)捕魚船向正北低速航行.30分鐘后,捕魚船到達(dá)距離A處海里的D處,此時(shí)救援艇在C處測(cè)得D處在南偏東的方向上.
求C、D兩點(diǎn)的距離;
捕魚船繼續(xù)低速向北航行,救援艇決定再次調(diào)整航向,沿CE方向前去救援,并且捕魚船和救援艇同達(dá)時(shí)到E處,若兩船航速不變,求的正弦值.參考數(shù)據(jù):,,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在平行四邊形ABCD中,AB︰BC=3︰2.
(1)根據(jù)條件畫圖:作∠BCD的平分線,交邊AB于點(diǎn)E,取線段BE的中點(diǎn)F,連接DF交CE于點(diǎn)G.
(2)設(shè),那么向量=______.(用向量、表示),并在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的一元二次方程x2—(m—1)x+m+2=0
(1)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求m的值;
(2)若Rt△ABC中,∠C=90°,tanA的值恰為(1)中方程的根,求cosB的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.
(1)如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證: ;
(2)如圖②,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí),使得成立?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),對(duì)稱軸為直線,,下列結(jié)論:①;②9a+3b+c=0;③若點(diǎn),點(diǎn)是此函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則;④.其中正確的個(gè)數(shù)( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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