Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，四邊形OBHC為矩形，CH的延長線交拋物線于點D（5，2），連結BC、AD.

（1）求C點的坐標及拋物線的解析式；

（2）將△BCH繞點B按順時針旋轉90°后                                      再沿x軸對折得到

△BEF（點C與點E對應），判斷點E是否落在拋物線上，并說明理由；

（3）設過點E的直線交AB邊于點P，交CD邊于點Q. 問是否存在點P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB，

        又D（5，2），

        ∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分

        ∴    解得

        ∴拋物線的解析式為： …… 4分

    （2）點E落在拋物線上. 理由如下：……… 5分

         由y = 0，得.

         解得x₁=1，x₂=4. ∴A（4，0），B（1，0）.   ……………………………… 6分

         ∴OA=4，OB=1.

         由矩形性質知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

         由旋轉、軸對稱性質知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

         ∴點E的坐標為（3，－1）.  ………………………………………………… 7分

         把x=3代入，得，

         ∴點E在拋物線上. …………………………………………………………… 8分

     （3）法一：存在點P（a，0），延長EF交CD于點G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

                S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，

         

下面分兩種情形：

          ①當S₁∶S₂ =1∶3時，，

此時點P在點F（3，0）的左側，則PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，則QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S₁=2，得，解得；………………… 11分

              ②當S₁∶S₂=3∶1時，

此時點P在點F（3，0）的右側，則PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S₁= 6，得，解得.

綜上所述：所求點P的坐標為（，0）或（，0）……… 14分

     法二：存在點P（a，0）. 記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.

當PQ經(jīng)過點F（3，0）時，易求S₁=5，S₂ = 3，

此時S₁∶S₂不符合條件，故a≠3.

設直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） ……… 10分

∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.

下面分兩種情形：

①當S₁∶S₂ = 1∶3時，= 2；

  ∴4a－7 = 2，解得；……………………………………………… 12分

②當S₁∶S₂ = 3∶1時，；

   ∴4a－7 = 6，解得；

綜上所述：所求點P的坐標為（，0）或（，0）………… 14分