Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，作軸于點(diǎn)．

（1）的面積為______；

（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)在軸的正半軸，且是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正方向運(yùn)動(dòng)，以為直角邊，在的右側(cè)作等腰， ；若在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，斜邊始終在軸上，求 的值．

Answer 1

【答案】6

【解析】分析: （1）首先過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，由等腰三角形的三線合一，可得OC=AC=3，然后由頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得OC=BC，然后由頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）首先過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，易得AD=PD，則可設(shè)AD=b，則點(diǎn)P（4+b，b），又由點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，求得b的值，繼而求得答案．

詳解:

（1） 6

（2）依題意，得A（4，3），如圖1，過A作AH⊥x軸于H，

∴AH=3，OH=4， ；

要使△OAP是等腰三角形，有如下三種情況：

①當(dāng)OP=OA時(shí)，OP=5

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）

②當(dāng)AO=AP時(shí)，OP=2OH=8

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，0）

③當(dāng)PO=PA時(shí)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，

則PO=PA= ，PH=

在Rt△AHP中，

∴

解得：

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或 （8，0） 或（，0）

（3）如圖3，

在等腰Rt△MAN，

∵AH⊥x軸于H

∴MH=AH=HN

∴ ON2－OM2=（ON+OM)(ON-OM)

=[（OH+HN)+(OH-MH)][(OH+HN)-(OH-MH)]

=(2OH)(HN+MH)

=(2OH)(2AH)

=4OH AH

4x12 =48

點(diǎn)睛: 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．