【題目】二次函數(shù)yax2bxc(a0)圖象的頂點(diǎn)為D,其圖象與x軸的交點(diǎn)AB的橫坐標(biāo)分別為-1,3.與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,在下面五個(gè)結(jié)論中:①2ab0;②abc0;③c=-3a;④只有當(dāng)a 時(shí),ABD是等腰直角三角形;⑤使ACB為等腰三角形的a值可以有三個(gè).其中正確的結(jié)論是(

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)AB的橫坐標(biāo)分別為-1,3確定對(duì)稱軸由此可判斷;由x=1時(shí)y的值可判斷;由AB的橫坐標(biāo)分別為-1,3可設(shè)交點(diǎn)式,由此可判斷;由ABD是等腰直角三角形可求出D點(diǎn)坐標(biāo),于是可求出a值,據(jù)此可判斷;分AB=BC=4AB=AC=4AC=BC三種情況,分別求出a值,由此可判斷

如圖,

由題意知對(duì)稱軸x=,

∴2a=-b, 2a+b=0,

∵b≠0,

2a-b≠0,

錯(cuò)誤;

② ∵a>0, 拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,3,

當(dāng)-1<x<3時(shí),y<0,

當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c<0

錯(cuò)誤;

y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 和原函數(shù)比較系數(shù)即得c=-3a,

正確;

DEABE,

∵△ADB為等腰直角三角形.
∴DE=AD=BD= =2,

點(diǎn)D為(1-2
當(dāng)x=1時(shí),y= a+b+c=a-2a-3a=-4a;
∴-4a=-2

∴a=,

∴只有a=時(shí),三角形ABD為等腰直角三角形.
故④正確;

要使△ACB為等腰三角形,則有AB=BC=4AB=AC=4AC=BC三種情況,

當(dāng)AB=BC=4時(shí),

∵AO=1△BOC為直角三角形,

∵OC的長(zhǎng)即為|c|,

∴c2=169=7

由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,

∴c= ,

2a+b=0、ab+c=0聯(lián)立組成方程組,解得a=;

同理當(dāng)AB=AC=4時(shí),

∵AO=1,△AOC為直角三角形,

∴c2=161=15

由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,

∴c= ,

再與2a+b=0、ab+c=0聯(lián)立組成方程組, 解得a=;

同理當(dāng)AC=BC時(shí)在△AOC,AC2=1+c2 △BOC中,BC2=c2+9

∵AC=BC,

∴1+c2=c2+9

此方程無(wú)解,

可知滿足條件只有兩個(gè)a值,

錯(cuò)誤.

綜上,正確的有2項(xiàng).

故答案為:B.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求拋物線的解析式.

2)點(diǎn)軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)軸,交直線于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn).

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