Question

【題目】在□ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)DF，已知∠FDG=45°

（1）求證：GD=GF.

（2）已知BC=10， .求 CD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）CD長(zhǎng)為5

【解析】試題分析：（1）由ABCD是平行四邊形得：AB∥CD，又因?yàn)?/span>EF⊥AB，所以∠ DGF=∠GFB=90°，在△DGF中，求得∠FDG=∠DFG＝45° ，再根據(jù)等角對(duì)等邊得到GD＝GF；

（2）由 且 得：GF＝8，又由 BC=10 ，點(diǎn)E 是BC中點(diǎn)，則CE=5，由ABCD是平行四邊形 得： ∠ GCE=∠EBF，則△EBF≌△ECG，所以GE=4 ，在在 Rt△CGE 中 所以CG=3， CD=8-3=5；

試題解析：

（1）證明:

∵EF⊥AB,

∴∠GFB=90°

∵ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD, ∠ DGF=∠GFB=90°

在△DGF中，已知∠FDG=45°

∴∠DFG=45°

∴∠FDG=∠DFG

∴GD=GF

(2)解：由（1）得 又

∴

∴GF=8

∵ BC=10 ，點(diǎn)E 是BC中點(diǎn)

∴CE=5

∵ABCD是平行四邊形

∴ ∠ GCE=∠EBF

在△EBF和△ECG中

∠ EFB=∠ECG=90°

CE=EB=5

∴△EBF≌△ECG

∴GE=4

在 Rt△CGE 中

∴CG=3

∴CD=8-3=5