Question

【題目】如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝2時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為　 　．

（2）當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，求t的值；

（3）連接OB，若以PQ為直徑作⊙M，則在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得⊙M與OB相切，若存在，求出時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，2）；（2）t的值為或；（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某一時(shí)刻t，使得⊙M與OB相切，此時(shí)t的值為 ．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度找出當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出此時(shí)線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度找出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PA，QA，QB，CB的值，由∠B＝∠A＝90°，可得出當(dāng)時(shí)，△CBQ與△PAQ相似，代入各線段的值即可求出t值；

（3）找出當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤3）秒時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)M在直線y＝2x﹣3上，設(shè)直線y＝2x﹣3與x軸交于點(diǎn)E，與線段AB交于點(diǎn)F，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A，C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線OB的解析式，結(jié)合直線EF的解析式可得出EF∥OB，過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，AD交直線EF于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)，此時(shí)⊙M與OB相切．由直線OB的解析式、AD⊥OB結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出直線AD的解析式，聯(lián)立直線AD，EF的解析式成方程組，通過解方程組可求出M的坐標(biāo)，由點(diǎn)M的縱坐標(biāo)可得出t的值，此題得解．

解：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，4），

∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），即（，2）．

故答案為：（，2）．

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤3）秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2t），

∴PA＝3﹣t，QA＝2t，QB＝6﹣2t，CB＝3．

∵∠B＝∠A＝90°，

∴當(dāng)時(shí)，△CBQ與△PAQ相似．

當(dāng)時(shí)，，

解得：t1＝，t2＝（不合題意，舍去）；

當(dāng)時(shí)，，

解得：t＝．

綜上所述：t的值為或．

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤3）秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2t），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，t）．

∵t＝×2﹣3，

∴點(diǎn)M在直線y＝2x﹣3上．

設(shè)直線y＝2x﹣3與x軸交于點(diǎn)E，與線段AB交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，3），

∴點(diǎn)F為線段AB的中點(diǎn)．

∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），

∴直線OB的解析式為y＝2x，

∴直線OB∥直線EF．

過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，AD交直線EF于點(diǎn)M，如圖所示．

∵直線OB∥直線EF，

∴MF為△ABD的中位線，

∴點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)，

∴此時(shí)⊙M與OB相切．

∵AD⊥OB，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），

∴直線AD的解析式為y＝﹣（x﹣3），即y＝﹣x+．

聯(lián)立直線AD，EF的解析式成方程組，得：

，解得： ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），

∴t＝，

∴在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某一時(shí)刻t，使得⊙M與OB相切，此時(shí)t的值為．