【題目】如圖,將△ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到AB′,邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β(0°<β<90°)得到AC′,連結(jié)B′C′,當(dāng)α+β=60°時(shí),我們稱△AB′C’是△ABC的“蝴蝶三角形”,已知一直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,那么它的“蝴蝶三角形”的面積為_________.
【答案】+1或1
【解析】
分兩種情形分別畫出圖形求解即可.
如圖1中,當(dāng)△AB′C′是△ABC的“雙展三角形”時(shí),作C′D⊥B′A交B′A的延長(zhǎng)線于D,在C′D上取一點(diǎn)F,使得FA=FC,連接AF.
∵B∠B′AC′=60°+45°=105°,
∴∠DAC′=75°,
∵∠D=90°,
∴∠DC′A=15°,
∵FA=FC′,
∴∠FAC=∠FC′A=15°,
∴∠AFD=∠FAC+∠FC′A=30°,設(shè)AD=x,則AF=FC′=2x.DF=x,
∵AB=BC=2,∠B=90°,
∴AC=AC′=2,
在Rt△ADC′中,則有x2+(x+2x)2=(2)2,
解得x=﹣1(負(fù)根已經(jīng)舍棄),
∴DC′=2x+x=+1,
∴S△AB′C′=AB′C′D=+1.
如圖2中,當(dāng)△A′BC′是△ABC的“雙展三角形”時(shí),作C′D⊥B′A交A′B的延長(zhǎng)線于D.
由題意:∠A′BC′=60°+90°=150°,
∴∠C′BD=30°,
∴C′D=BC′=1,
∴S△A′BC′=BA′C′D=1,
綜上所述,滿足條件的+1或1.
故答案為+1或1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一段120m的籬笆,準(zhǔn)備用這些籬笆借助一段墻角圍成如圖所示兩塊面積相同的矩形場(chǎng)地養(yǎng)雞.
(1)如圖所示,若圍成的場(chǎng)地總面積為1750m2,則該場(chǎng)地的寬(圖中縱向)應(yīng)為多少?
(2)能不能圍成面積為2000m2的場(chǎng)地?若能,求出此時(shí)籬笆的寬;若不能,求圍成場(chǎng)地面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O 為原點(diǎn),點(diǎn) A(4,0),點(diǎn) B(0,3),把△ABO 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得△A′BO′,點(diǎn) A、O 旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A′、O′,記旋轉(zhuǎn)角為ɑ.
(1)如圖 1,若ɑ=90°,求 AA′的長(zhǎng);
(2)如圖 2,若ɑ=120°,求點(diǎn) O′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)M0的坐標(biāo)為(1,0),將線段O M0繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,再將其延長(zhǎng)到M1,使得M1 M0⊥O M0,得到線段OM1;又將線段OM1繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,再將其延長(zhǎng)到M2,使得M2M1⊥OM1,得到線段OM2,如此下去,得到線段OM3,OM4,…,OMn
(1)寫出點(diǎn)M5的坐標(biāo);
(2)求△M5OM6的周長(zhǎng);
(3)我們規(guī)定:把點(diǎn)Mn(xn,yn)(n=0,1,2,3…)的橫坐標(biāo)xn,縱坐標(biāo)yn都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)(|xn|,|yn|)稱之為點(diǎn)Mn的“絕對(duì)坐標(biāo)”.根據(jù)圖中點(diǎn)Mn的分布規(guī)律,請(qǐng)你猜想點(diǎn)Mn的“絕對(duì)坐標(biāo)”,并寫出來(lái).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,D是AB上一點(diǎn),DE⊥AC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn),FG⊥BC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FG=AF,AG平分∠CAB,連接GE,GD.
(1)求證:△ECG≌△GHD;
(2)小亮同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):AD=AC+EC.請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.
(3)若∠B=30°,判定四邊形AEGF是否為菱形,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小學(xué)學(xué)生較多,為了便于學(xué)生盡快就餐,師生約定:早餐一人一份,一份兩樣,一樣一個(gè),食堂師傅在窗口隨機(jī)發(fā)放(發(fā)放的食品價(jià)格一樣),食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品.
(1)按約定,“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是 事件;(可能,必然,不可能)
(2)請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法,求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】操作:在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處,將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)。如圖①、②、③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況。
探究:
(1)如圖①,PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,則重疊部分四邊形DCEP的面積為___,周長(zhǎng)___.
(2)三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),觀察線段PD與PE之間有什么數(shù)量關(guān)系?并結(jié)合圖②加以證明;
(3)三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),△PBE是否能成為等腰三角形?若能,指出所有情況(即寫出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng));若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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