【題目】如圖,ABC中,DAB上一點(diǎn),DEAC于點(diǎn)E,FAD的中點(diǎn),FGBC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FGAF,AG平分∠CAB,連接GE,GD

1)求證:ECG≌△GHD;

2)小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):ADAC+EC.請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.

3)若∠B30°,判定四邊形AEGF是否為菱形,并說明理由.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3)是菱形,證明見解析

【解析】

1)依據(jù)條件得出∠C=DHG=90°,∠CGE=GED,依據(jù)FAD的中點(diǎn),FGAE,即可得到FG是線段ED的垂直平分線,進(jìn)而得到GE=GD,∠CGE=GDE,利用AAS即可判定△ECG≌△GHD;(注:本小題也可以通過證明四邊形ECGH為矩形得出結(jié)論).

2)過點(diǎn)GGPABP,判定△CAG≌△PAG,可得AC=AP,由(1)可得EG=DG,即可得到Rt△ECGRt△DPG,依據(jù)EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC;

3)依據(jù)∠B=30°,可得∠ADE=30°,進(jìn)而得到AE=AD,故AE=AF=FG,再根據(jù)四邊形AEGF是平行四邊形,即可得到四邊形AEGF是菱形.

解:(1)∵AFFG,

∴∠FAG=∠FGA,

AG平分∠CAB,

∴∠CAG=∠FAG

∴∠CAG=∠FGA,

ACFG,

DEAC

FGDE,

FGBC,

DEBC

ACBC,

∴∠C=∠DHG90°,∠CGE=∠GED

FAD的中點(diǎn),FGAE

HED的中點(diǎn),

FG是線段ED的垂直平分線,

GEGD,∠GDE=∠GED,

∴∠CGE=∠GDE,

∴△ECG≌△GHD;

2)證明:過點(diǎn)GGPABP,

GCGP,而AGAG,

∴△CAG≌△PAG,

ACAP,

由(1)可得EGDG

Rt△ECGRt△DPG,

ECPD,

ADAP+PDAC+EC;

3)四邊形AEGF是菱形,

證明:∵∠B30°

∴∠ADE30°,

AEAD,

AEAFFG,

由(1)得AEFG,

∴四邊形AEGF是平行四邊形,

AEAF,

∴四邊形AEGF是菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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觀察表中數(shù)據(jù),直接寫出mx的函數(shù)關(guān)系式:_______________:當(dāng)漲價(jià)5元時(shí),計(jì)算可得月銷售利潤(rùn)是___________元;

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