Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點C（0，2）和點D（4，﹣2）．點E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點．

（1）求二次函數(shù)的解析式及點E的坐標．

（2）如圖①，若點M是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時點M的坐標．

（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點的圓交y軸于點F，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐標為（，3）；（3）F坐標為（0，﹣）．

【解析】

1）把C與D坐標代入二次函數(shù)解析式求出a與c的值，確定出二次函數(shù)解析式，與一次函數(shù)解析式聯(lián)立求出E坐標即可；

（2）過M作MH垂直于x軸，與直線CE交于點H，四邊形COEM面積最大即為三角形CME面積最大，構(gòu)造出二次函數(shù)求出最大值，并求出此時M坐標即可；

（3）令y=0，求出x的值，得出A與B坐標，由圓周角定理及相似的性質(zhì)得到三角形AOC與三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的長，即可確定出F坐標．

（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數(shù)解析式得： ，

解得： ，即二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+x+2，

聯(lián)立一次函數(shù)解析式得：，

消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，

解得：x=0或x=3，

則E（3，1）；

（2）如圖①，過M作MH∥y軸，交CE于點H，

設(shè)M（m，﹣m2+m+2），則H（m，﹣m+2），

∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，

S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH3=﹣m2+3m+3，

當m=﹣=時，S最大=，此時M坐標為（，3）；

（3）連接BF，如圖②所示，

當﹣x2+x+20=0時，x1=，x2=，

∴OA=，OB=，

∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，

∴△AOC∽△FOB，

∴ ，即 ，

解得：OF=，

則F坐標為（0，﹣）．