Question

【題目】(1)問題

如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：ADBC=APBP.

(2)探究

如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由.

(3)應(yīng)用

請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動，且滿足∠DPC=∠A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(秒)，當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立；理由見解析；(3)t的值為2秒或10秒．

【解析】

（1）根據(jù)同角的余角相等，即可證出∠APD=∠BPC，然后根據(jù)相似三角形的判定即可證出：△ADP∽△BPC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，最后根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可證出結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和已知條件證出：∠BPC=∠APD，然后根據(jù)相似三角形的判定即可證出：△ADP∽△BPC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，最后根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可證出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)三線合一和勾股定理求出DE，然后畫圓根據(jù)切線的性質(zhì)可得：DC=DE=8，再根據(jù)(1)(2)的經(jīng)驗(yàn)得ADBC=APBP，列出方程，求出t的值即可.

(1)證明：∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，

∴∠APD=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴

∴ADBC=APBP；

(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立；理由：

證明：∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠APD，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，

∵∠DPC=∠A=θ，

∴∠BPC=∠APD，

又∵∠A=∠B=θ，

∴△ADP∽△BPC，

∴，

∴ADBC=APBP；

(3)解：如下圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵AD=BD=10，AB=12，

∴AE=BE=6

根據(jù)勾股定理可得：DE==8，

∵以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC=DE=8，

∴BC=10-8=2，

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

又∵∠DPC=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B，由(1)(2)的經(jīng)驗(yàn)得ADBC=APBP，

又∵AP=t，BP=12-t，

∴t(12-t)=10×2，

∴t=2或t=10，

∴t的值為2秒或10秒．