【題目】(1)問題

如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)PAB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°,求證:ADBC=APBP.

(2)探究

如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)PAB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=θ時,上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.

(3)應(yīng)用

請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題:如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動,且滿足∠DPC=∠A,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(),當(dāng)以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切時,求t的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立;理由見解析;(3)t的值為2秒或10秒.

【解析】

1)根據(jù)同角的余角相等,即可證出∠APD=∠BPC,然后根據(jù)相似三角形的判定即可證出:△ADP∽△BPC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),列出比例式,最后根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可證出結(jié)論;

2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和已知條件證出:∠BPC=APD,然后根據(jù)相似三角形的判定即可證出:△ADP∽△BPC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),列出比例式,最后根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可證出結(jié)論;

3)過點(diǎn)DDEAB于點(diǎn)E,根據(jù)三線合一和勾股定理求出DE,然后畫圓根據(jù)切線的性質(zhì)可得:DC=DE=8,再根據(jù)(1)(2)的經(jīng)驗(yàn)得ADBC=APBP,列出方程,求出t的值即可.

(1)證明:∵∠DPC=A=B=90°,

∴∠ADP+APD=90°,∠BPC+APD=90°,

∴∠APD=BPC

∴△ADP∽△BPC,

ADBC=APBP

(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立;理由:

證明:∵∠BPD=DPC+BPC,∠BPD=A+APD,

∴∠DPC+BPC=A+APD,

∵∠DPC=A=θ,

∴∠BPC=APD,

又∵∠A=B=θ,

∴△ADP∽△BPC,

,

ADBC=APBP;

(3)解:如下圖,過點(diǎn)DDEAB于點(diǎn)E,

AD=BD=10,AB=12

AE=BE=6

根據(jù)勾股定理可得:DE==8,

∵以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,

DC=DE=8,

BC=10-8=2,

AD=BD,

∴∠A=B

又∵∠DPC=A,

∴∠DPC=A=B,由(1)(2)的經(jīng)驗(yàn)得ADBC=APBP,

又∵AP=t,BP=12-t,

t(12-t)=10×2,

t=2t=10

t的值為2秒或10秒.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線Myax2+bx+ca≠0)經(jīng)過A(﹣1,0),且頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,1).

(1)求拋物線M的函數(shù)表達(dá)式;

(2)設(shè)Ft,0)為x軸正半軸上一點(diǎn),將拋物線M繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M1

拋物線M1的頂點(diǎn)B1的坐標(biāo)為   ;

當(dāng)拋物線M1與線段AB有公共點(diǎn)時,結(jié)合函數(shù)的圖象,求t的取值范圍.

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【題目】2017湖北省十堰市,第24題,10分)已知O為直線MN上一點(diǎn),OPMN,在等腰RtABO中,∠BAO=90°,ACOPOMC,DOB的中點(diǎn),DEDCMNE

1)如圖1,若點(diǎn)BOP上,則:

AC OE(填“<”,“=”或“>”);

②線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式是

2)將圖1中的等腰RtABOO點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<45°),如圖2,那么(1)中的結(jié)論②是否成立?請說明理由;

3)將圖1中的等腰RtABOO點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)α(45°<α<90°),請你在圖3中畫出圖形,并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式

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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(3,0)和B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點(diǎn),一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B、D.

(1)請直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)求二次函數(shù)的解析式.

(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.

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【題目】在某班講故事比賽中有一個抽獎活動,活動規(guī)則是:只有進(jìn)入最后決賽的甲、乙、丙三位同學(xué),每人才能獲得一次抽獎機(jī)會在如圖所示的翻獎牌正面的4個數(shù)字中選一個數(shù)字,選中后就可以得到該數(shù)字后面的相應(yīng)獎品:前面的人選中的數(shù)字,后面的人就不能再選擇數(shù)字了

(1)請用樹狀圖(或列表)的方法求甲、乙二人得到的獎品都是計算器的概率

(2)有的同學(xué)認(rèn)為,如果甲先翻獎牌,那么他得到籃球的概率會大些,這種說法正確嗎?請說明理由

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【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,把矩形沿AC折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AEDC的交點(diǎn)為O,連接DE

(1)求證:ADE≌△CED;

(2)求證:DEAC

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【題目】閱讀下面內(nèi)容,并按要求解決問題: 問題:在平面內(nèi),已知分別有個點(diǎn),個點(diǎn),個點(diǎn),5 個點(diǎn),,n 個點(diǎn),其中任意三 個點(diǎn)都不在同一條直線上.經(jīng)過每兩點(diǎn)畫一條直線,它們可以分別畫多少條直線?探究:為了解決這個問題,希望小組的同學(xué)們設(shè)計了如下表格進(jìn)行探究:(為了方便研 究問題,圖中每條線段表示過線段兩端點(diǎn)的一條直線)

請解答下列問題:

1)請幫助希望小組歸納,并直接寫出結(jié)論:當(dāng)平面內(nèi)有個點(diǎn)時,直線條數(shù)為 ;

2)若某同學(xué)按照本題中的方法,共畫了條直線,求該平面內(nèi)有多少個已知點(diǎn).

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【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=3OA.點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)D,連接PC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖2,當(dāng)動點(diǎn)P只在第一象限的拋物線上運(yùn)動時,求過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F,試問△PDF的周長是否有最大值?如果有,請求出其最大值,如果沒有,請說明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動時,將△CPD沿直線CP翻折,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,試問,四邊形CDPQ是否成為菱形?如果能,請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不能,請說明理由.

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