【題目】如圖,正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別是邊BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C,D重合),AM,AN分別交BD于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠MAN始終保持45°不變.
(1)求證: = ;
(2)求證:AF⊥FM;
(3)請?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí),∠FMN=∠BAM?寫出你的探索結(jié)論,并加以證明.
【答案】
(1)
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠CBD=45°,∠ABC=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠MAF=∠MBE,
∴A、B、M、F四點(diǎn)共圓,
∴∠ABM+∠AFM=180°,
∴∠AFM=90°,
∴∠FAM=∠FMA=45°,
∴AM= AF,
(2)
證明:由(1)可知∠AFM=90°,
∴AF⊥FM
(3)
結(jié)論:∠BAM=22.5時(shí),∠FMN=∠BAM
理由:
∵A、B、M、F四點(diǎn)共圓,
∴∠BAM=∠EFM,
∵∠BAM=∠FMN,
∴∠EFM=∠FMN,
∴MN∥BD,
∴ ,∵CB=DC,
∴CM=CN,
∴MB=DN,
在△ABM和△ADN中,
,
∴△ABM≌△ADN,
∴∠BAM=∠DAN,
∵∠MAN=45°,
∴∠BAM+∠DAN=45°,
∴∠BAM=22.5°.
【解析】(1)先證明A、B、M、F四點(diǎn)共圓,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可證明∠AFM=90°,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題.(2)由(1)的結(jié)論即可證明.(3)由:A、B、M、F四點(diǎn)共圓,推出∠BAM=∠EFM,因?yàn)椤螧AM=∠FMN,所以∠EFM=∠FMN,推出MN∥BD,得到 ,推出BM=DN,再證明△ABM≌△ADN即可解決問題.本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)解決問題,題目有點(diǎn)難,用到四點(diǎn)共圓.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)△ABC中,H是高AD和BE的交點(diǎn),且AD=BD.
(1)請你猜想BH和AC的關(guān)系,并說明理由;
(2)若將圖(1)中的∠A改成鈍角,請你在圖(2)中畫出該題的圖形,此時(shí)(1)中的結(jié)論還成立嗎?(不必證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“六一”兒童節(jié)前夕,蘄黃縣教育局準(zhǔn)備給留守兒童贈(zèng)送一批學(xué)習(xí)用品,先對浠泉鎮(zhèn)浠泉小學(xué)的留守兒童人數(shù)進(jìn)行抽樣統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)各班留守兒童人數(shù)分別為6名,7名,8名,10名,12名這五種情形,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖,解答下列問題:
(1)該校有多少個(gè)班級?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)該校平均每班有多少名留守兒童?留守兒童人數(shù)的眾數(shù)是多少?
(3)若該鎮(zhèn)所有小學(xué)共有60個(gè)教學(xué)班,請根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)該鎮(zhèn)小學(xué)生中,共有多少名留守兒童.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題引入:
(1)如圖①,在△ABC中,點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn),若∠A=α,則∠BOC=(用α表示);如圖②,∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB,∠A=α,則∠BOC=(用α表示)拓展研究:
(2)如圖③,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,請猜想∠BOC=(用α表示),并說明理由.
類比研究:
(3)BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線,它們交于點(diǎn)O,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,請猜想∠BOC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進(jìn)一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.
(一)嘗試探究
如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=90°,點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上,∠EAF=30°,連接EF.
(1)如圖2,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′(A′B′與AD重合),請直接寫出∠E′AF=度,線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD的延長線上時(shí),其他條件不變,請?zhí)骄烤段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB上的點(diǎn),且CE=BF.連接DE,過點(diǎn)E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.
(1)請判斷:FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是;
(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CB,BA延長線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明;
(3)如圖3,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB延長線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請直接寫出你的判斷.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC的周長是16,OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D且OD=2,△ABC的面積是________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB⊥BC,BE⊥AC,∠1=∠2,AD=AB,則下列結(jié)論不正確的是
A. BF=DF B. ∠1=∠EFD C. BF>EF D. FD∥BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“國美”、“蘇寧”兩家電器商場出售同樣的空氣凈化器和過濾網(wǎng),空氣凈化器和過濾網(wǎng)在兩家商場的售價(jià)一樣.已知買一個(gè)空氣凈化器和個(gè)過濾網(wǎng)要花費(fèi)元,買個(gè)空氣凈化器和個(gè)過濾網(wǎng)要花費(fèi)元.
()請用方程組求出一個(gè)空氣凈化器與一個(gè)過濾網(wǎng)的銷售價(jià)格分別是多少元?
()為了迎接新年,兩家商場都在搞促銷活動(dòng),“國美”規(guī)定:這兩種商品都打九五折;“蘇寧”規(guī)定:買一個(gè)空氣凈化器贈(zèng)送兩個(gè)過濾網(wǎng).若某單位想要買個(gè)空氣凈化器和個(gè)過濾網(wǎng),如果只能在一家商場購買,請問選擇哪家商場購買更合算?請說明理由.
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