Question

【題目】在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以BC為直徑作☉O交AB于點(diǎn)D.

(1)求線段AD的長(zhǎng)度;

(2)點(diǎn)E是線段AC上的一點(diǎn),試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí),直線ED與☉O相切?請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí),直線ED與⊙O相切

【解析】

（1）由勾股定理易求得AB的長(zhǎng)；可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得關(guān)于AC、AD、AB的比例關(guān)系式，即可求出AD的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)ED與⊙O相切時(shí)，由切線長(zhǎng)定理知EC=ED，則∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE=DE，即E是AC的中點(diǎn)．在證明時(shí)，可連接OD，證OD⊥DE即可．

(1)在Rt△ACB中,

∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,

∴AB=5cm.

如圖,連接CD.

∵BC為直徑,

∴∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,

∴Rt△ADC∽Rt△ACB.

∴.

∴AD=(cm).

(2)當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí),直線ED與⊙O相切.

證明:如圖,連接OD,ED.

∵DE是Rt△ADC的中線,∴ED=EC.

∴∠EDC=∠ECD.

∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD.

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴直線ED與⊙O相切.