Question

【題目】如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC、AB，分別交于點(diǎn)D、E，且∠CBD=∠A；

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD=．

【解析】

試題分析：（1）結(jié)論：BD是圓的切線，已知此線過圓O上點(diǎn)D，連接圓心O和點(diǎn)D（即為半徑），再證垂直即可；

（2）通過作輔助線，根據(jù)已知條件求出∠CBD的度數(shù)，在Rt△BCD中求解即可．

解：（1）直線BD與⊙O相切．（1分）

證明：如圖，連接OD．

∵OA=OD

∴∠A=∠ADO

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°

又∵∠CBD=∠A

∴∠ADO+∠CDB=90°

∴∠ODB=90°

∴直線BD與⊙O相切．（2分）

（2）解法一：如圖，連接DE．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°

∵AD：AO=6：5

∴cosA=AD：AE=3：5（3分）

∵∠C=90°，∠CBD=∠A

cos∠CBD=BC：BD=3：5（4分）

∵BC=2，BD=；

解法二：如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H．

∴AH=DH=AD

∵AD：AO=6：5

∴cosA=AH：AO=3：5（3分）

∵∠C=90°，∠CBD=∠A

∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，

∵BC=2，

∴BD=．