Question

【題目】已知正方形ABCD，E為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)DE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DG，連結(jié)EC，AG．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，
①依題意補(bǔ)全圖形；
②判斷AG與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并寫(xiě)出證明思路．
（2）當(dāng)點(diǎn)B，D，G在一條直線時(shí)，若AD=4，DG= ，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，

②AG=CE，AG⊥CE．

證明思路如下：

由正方形ABCD，可得AD=CD，∠ADC=90°，

由DE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DG，

∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE

∴∠GDA=∠EDC．

∵DG=DE，AD=CD，

∴△AGD≌△CED，

∴AG=CE．

延長(zhǎng)CE分別交AG、AD于點(diǎn)F、H，

∵△AGD≌△CED，

∴∠GAD=∠ECD，

∵∠AHF=∠CHD，

∴∠AFH=∠HDC=90°

∴AG⊥CH

（2）

證明：當(dāng)點(diǎn)G在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示．

過(guò)G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠ADB=∠GDM=45°．

∵GM⊥AD，DG= ，

∴MD=MG=1

在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG= =

∴CE=AG=

當(dāng)點(diǎn)G在線段BD上時(shí)，如圖4所示．

過(guò)G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠ADG=45°

∵GM⊥AD，DG= ，

∴MD=MG=1

在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG= = ，

∴CE=AG=

故CE的長(zhǎng)為 或

【解析】（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，（2）由旋轉(zhuǎn)得到∠GDA=∠EDC，判斷出△AGD≌△CED，得出∠AFH=∠HDC=90°即可；（3）由正方形的線段得到MD=MG=1，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素才能正確解答此題．