【題目】如圖:正方形OABC置于坐標(biāo)系中,B的坐標(biāo)是(-4,4),點(diǎn)D是邊OA上一動(dòng)點(diǎn),以OD為邊在第一象限內(nèi)作正方形ODEF.
(1)CD與AF有怎樣的位置關(guān)系,猜想并證明;
(2)當(dāng)OD=______時(shí),直線CD平分線段AF;
(3)在OD=2時(shí),將正方形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°(0°<α°<180°),求當(dāng)C、D、E共線時(shí)D的坐標(biāo).
【答案】(1)CD⊥AF,理由見解析;(2)4-4;(3)(-1,)或(-1,-).
【解析】
(1)證明△COD△AOF,可得∠OCD=∠OAF,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得:∠AGD=∠DOC=90°,從而得結(jié)論;
(2)如圖2,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得:AC=CF,列方程可得結(jié)論;
(3)分兩種情況:①如圖3,當(dāng)D在第二象限時(shí),過(guò)D作DG⊥x軸于G,根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得DG和OG的長(zhǎng),由此得D的坐標(biāo);
②如圖4,當(dāng)D在第三象限時(shí),同理可得結(jié)論.
解:(1)CD⊥AF,理由是:
如圖1,延長(zhǎng)CD交AF于G,
∵四邊形OABC和ODEF是正方形,
∴AO=OC,∠COD=∠AOF=90°,OF=OD,
∴△COD△AOF(SAS),
∴∠OCD=∠OAF,
∵∠ADG=∠CDO,
∴∠AGD=∠DOC=90°,
∴CD⊥AF;
(2)設(shè)OD=x,連接AC,如圖2,
當(dāng)直線CD平分線段AF時(shí),AC=CF,
∵B的坐標(biāo)是(-4,4),
∴AC=4,
∴4=4+x,
x=4-4,
則當(dāng)OD=4-4時(shí),直線CD平分線段AF;
故答案為:4-4;
(3)分兩種情況:
①如圖3,當(dāng)D在第二象限時(shí),過(guò)D作DG⊥x軸于G,
∵C、D、E共線,
∴∠CDO=∠ODE=90°,
Rt△ODC中,OD=2,OC=4,
∴∠OCD=30°,CD=2,
∴DG=CD=,CG=3,
∴OG=4-3=1,
∴D(-1,),
②如圖4,當(dāng)D在第三象限時(shí),過(guò)D作DG⊥x軸于G,
同理得:OG=1,DG=,
∴D(-1,-),
綜上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(-1,)或(-1,-).
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【題目】已知一次函數(shù),其中.
(1)若點(diǎn)在y1的圖象上.求a的值:
(2)當(dāng)時(shí).若函數(shù)有最大值2.求y1的函數(shù)表達(dá)式;
(3)對(duì)于一次函數(shù),其中,若對(duì)- -切實(shí)數(shù)x, 都成立,求a,m需滿足的數(shù)量關(guān)系及 a的取值范圍.
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【題目】如圖,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂線MD交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)M.下列結(jié)論:①BD是∠ABC的平分線;②△BCD是等腰三角形;③DC+BC=AB,正確的有( )
A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0 個(gè)
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E,F分別在BC和CD上,下列結(jié)論:①CE=CF;②BD=1+;③BE+DF=EF;④∠AEB=75°.其中正確的序號(hào)是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OB、OC,線段AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、F、G.
(1)判斷四邊形DEFG的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)若M為EF的中點(diǎn),OM=2,∠OBC和∠OCB互余,求線段BC的長(zhǎng).
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BC∥AD,添加下列條件,不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( 。
A.AB=CDB.AB∥CDC.∠A=∠CD.BC=AD
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AC為直徑,弦BD=BA,BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證:
(1)∠1=∠BAD;
(2)BE是⊙O的切線.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,過(guò)點(diǎn)A,D兩點(diǎn)的⊙O與BC邊相切于點(diǎn)E,求⊙O的半徑.
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【題目】某商店老板準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的足球共100只,已知A型號(hào)足球進(jìn)價(jià)每只40元,B型號(hào)足球進(jìn)價(jià)每只60元.
(1)若該店老板共花費(fèi)了5200元,那么A、B型號(hào)足球各進(jìn)了多少只;
(2)若B型號(hào)足球數(shù)量不少于A型號(hào)足球數(shù)量的,那么進(jìn)多少只A型號(hào)足球,可以讓該老板所用的進(jìn)貨款最少?
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