Question

【題目】定義：圓心在三角形的一邊上，與另一邊相切，且經(jīng)過三角形一個頂點（非切點）的圓，稱為這個三角形圓心所在邊上的“伴隨圓”．

（1）如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則AC邊上的伴隨圓的半徑為 ．

（2）如圖2，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，畫草圖并直接寫出它的所有伴隨圓的半徑．

（3）如圖3，△ABC中，∠ACB=90°，點P在邊AB上，AP=2BP，D為AC中點，且∠CPD=90°．

①求證：△CPD的外接圓是△ABC某一條邊上的伴隨圓；

②求cos∠PDC的值．

Answer 1

【答案】（1）2．（2）△ABC的伴隨圓的半徑分為或或．（3）cos∠PDC=．

【解析】

試題分析：（1）先依據(jù)勾股定理求得AC的長，然后依據(jù)切線的性質(zhì)可知AC為圓的直徑，故此可求得△BAC的伴隨圓的半徑等于AC的一半；

（2）當O在BC上時，連接OD，過點A作AE⊥BC．由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AE=4，依據(jù)切線的性質(zhì)可證明OD⊥AB，接下來證明△ODB∽△AEB，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑；當O在AB上且圓O與BC相切時，連接OD、過點A作AE⊥BC，垂足為E．先證明△BOD∽△BAE，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑，當O在AB上且圓O與AC相切時，連接OD、過點B作BF⊥AC，過點A作AE⊥BC，垂足為E．先依據(jù)面積法求得BF的長，然后再證明△AOD∽△ABF，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑；

（3）①連接OB、OP，先證明，從而得到PD∥OB，于是可得到∠1=∠4，接下來證明△BCO≌△BPO，從而可證明∠BPO=90°；②設圓O的半徑為r，依據(jù)勾股定理定理依據(jù)求得PA、BC、OB的長，從而可求得cos∠1=接下來，由∠PDC=∠1可求得cos∠PDC=的值．

試題解析：（1）∵∠C=90°，AB=5，BC=3，

∴AC==4．

∵BC是圓的切線，∠BCA=90°，

∴AC為圓的直徑．

∴AC邊上的半隨圓的半徑為2．

故答案為：2．

（2）當O在BC上時，如圖（1）所示：連接OD，過點A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴BE=EC=3．

在△AEB中，由勾股定理可知AE==4．

∵AB與⊙O相切，

∴OD⊥AB．

∴∠BDO=∠BEA=90°．

又∵∠OBD=∠EBA，

∴△ODB∽△AEB．

∴．

設⊙O的半徑為r．在OB=6﹣r．

∴．

∴r=．

∴△ABC的BC邊上的伴隨圓的半徑為．

當O在AB上時，如圖（2），連接OD、過點A作AE⊥BC，垂足為E．

∵BC與⊙O相切，∴OD⊥BC．又∵AE⊥BC，

∴OD∥AE．∴△BOD∽△BAE．

∴．

設⊙O的半徑為r，則OB=5﹣r．∴．∴r=．

如圖（3）所示：連接OD、過點B作BF⊥AC，過點A作AE⊥BC，垂足為E．

∵S△ABC=BCAE=ACBF，∴×6×4=×5×BF．∴BF=4.8．

∵AC與⊙O相切，∴DO⊥AC．∴DO∥BF．

∴△AOD∽△ABF．∴即．∴r=．

綜上所述，△ABC的伴隨圓的半徑分為或或．

（3）①證明：如圖（4）連接OP、OB．

∵△CPD為直角三角形，

∴△CPD的外接圓圓心O在CD中點．

設⊙O的半徑為r，則DC=2r，OA=3r．∴．∵PA=2BP，

∴．∴．∴PD∥OB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．

又∵∠3=∠2，∴∠1=∠4．在△BCO和△BPO中，∴△BCO≌△BPO．

∴∠BPO=∠BCO=90°．∴AB是圓O的切線．

∴△CPD的外接圓是△ABC某一條邊上的伴隨圓．

②如圖（4）設圓O的半徑為r．

∵在Rt△OAP中，OA=3r，OP=r，

∴PA==2r．

∴AB=3r．

∵在Rt△ABC中，AC=4r，AB=3r，

∴BC==a．

∵在Rt△OBC中，OC=r，BC=r，

∴OB==r．

∴cos∠1===．

∵∠PDC=∠1，

∴cos∠PDC=．