Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片，使AD落在BC上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開后折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)E、G，連結(jié)GF，給出下列結(jié)論①∠AGD＝110.5°；②S△AGD＝S△OGD；③四邊形AEFG是菱形；④BF＝OF；⑤如果S△OGF＝1，那么正方形ABCD的面積是12+8，其中正確的有（　�。﹤�(gè)．

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折疊的性質(zhì)，可求得∠ADG的度數(shù)，從而求得∠AGD；

②證△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；

③先計(jì)算∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，從而得到∠AGE＝∠AED，易得AE=AG，由AE＝FE、AG＝FG即可得證；

④設(shè)OF＝a，先求得∠EFG＝45°，易得∠GFO＝45°，在Rt△OFG中，GF＝OF=a，從而可證得BF＝EF＝GF＝OF；

⑤由S△OGF＝1求出a2，再表示出BE及AE的長(zhǎng)，利用正方形的面積公式可得出結(jié)論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EAG=∠GAD＝∠ADO＝45°，∠AOB=90°，

由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，

∴∠AGD＝180°－∠GAD－∠ADG＝112.5°，

故①錯(cuò)誤；

由折疊的性質(zhì)可得：AE＝EF，∠AEG＝∠FEG，

在△AEG和△FEG中，，

∴△AEG≌△FEG（SAS），

∴AG＝FG，

∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，

∴S△AGD＞S△OGD，故②錯(cuò)誤；

∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，

∴∠AGE＝∠AED，

∴AE＝AG，

又∵AE＝FE，AG＝FG，

∴AE＝EF＝GF＝AG，

∴四邊形AEFG是菱形，故③正確；

設(shè)OF＝a，

∵△AEG≌△FEG，

∴∠EFG＝∠EAG=45°，

又∵∠EFO＝90°，

∴∠GFO＝45°，

∴在Rt△OFG中，GF＝OF=a，

∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，

∴在Rt△EBF中，BF＝EF＝GF＝a，即BF＝OF，故④正確；

∵S△OGF＝1，

∴OF2＝1，即a2＝1，

則a2＝2，

∵BF＝EF＝a，且∠BFE＝90°，

∴BE＝2a，

又∵AE＝EF＝a，

∴AB＝AE+BE＝a+2a＝(2+)a，

則正方形ABCD的面積是(2+)2a2＝(6+)×2＝12+，

故⑤正確；

故選：B．