如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=
3
3
x+m
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,3),且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,4),過(guò)A點(diǎn)做x軸的平行線交拋物線于D點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接DC,AC,試在拋物線上找出點(diǎn)P,使得7S△ACD=S△PAD;
(3)直線y=
3
3
x+m
與對(duì)稱軸交于B點(diǎn),試在直線AD上找出一點(diǎn)E,使得E到B點(diǎn)的長(zhǎng)度和到直線y=
3
3
x+m
的距離之和最短.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題
專題:探究型
分析:(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(0,3),且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,4)列出關(guān)于a、b、c的方程組,求出a、b、c的值即可得出拋物線的解析式;
(2)先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),故可得出D點(diǎn)坐標(biāo),由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),所以P點(diǎn)必在x軸的下方,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則-x2+2x+3<0,再根據(jù)7S△ACD=S△PAD求出x的值即可;
(3)把點(diǎn)A(0,3)代入直線y=
3
3
x+m求出m的值,故可得出直線的解析式,作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,過(guò)點(diǎn)B′作直線y=
3
3
x+m的垂線交直線AD于點(diǎn)E,根據(jù)互相垂直的兩條直線斜率的積等于1求出直線B′E的解析式,故可得出E點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(0,3),且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,4),
解得
a=-1
b=2
c=3
,
∴此拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3;

(2)如圖1,
∵A(0,3),C(1,4),AD∥x軸,
∴D(2,3),
∴CF=1,
設(shè)P(x,-x2+2x+3),
∵點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),
∴點(diǎn)P必在x軸下方,
∵△ACD與△PAD同底,7S△ACD=S△PAD
∴-(-x2+2x+3)=7-3=4,解得x=1±2
2

∴P(1+2
2
,-4)或(1-2
2
,-4);

(3)∵點(diǎn)A(0,3)在直線y=
3
3
x+m上,
∴m=3,
∴直線y=
3
3
x+m的解析式為y=
3
3
x+3,
∵C(1,4),
∴直線CF的解析式為x=1,
∴B(1,
3
3
+3),
如圖2,作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′,過(guò)點(diǎn)B′作直線y=
3
3
x+m的垂線交直線AD于點(diǎn)E,則E點(diǎn)即為所求,
∵直線B′E⊥AB,
∴設(shè)直線B′E的解析式為y=-
3
x+b,
∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線AD對(duì)稱,AD∥x軸,AD的解析式為y=3,
∴B′(1,3-
3
3
),
∴3-
3
3
=-
3
+b,解得b=3+
2
3
3

∴直線B′E的解析式為y=-
3
x+3+
2
3
3
,
∴當(dāng)y=3時(shí),x=
2
3
,
∴E(
2
3
,3).
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,熟知用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.
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(1)垂直于同一直線的兩條直線互相垂直;
(2)過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行;
(3)過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直;
(4)兩條直線被第三條直線所截,同位角相等;
(5)三角形的外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角.
 其中真命題的個(gè)數(shù)是( 。
A、1B、2C、3D、4

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如圖直角三角形兩銳角的角平分線所交成的角的度數(shù)是( 。
A、115°B、135°
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A、(2,-1)
B、(3,-1)
C、(4,-1)
D、(3,-2)

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如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求該拋物線的解析式和C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為M,求四邊形ABMC的面積;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使四邊形ABDC的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)在該拋物線上求點(diǎn)Q,使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).
(1)求此函數(shù)的解析式和對(duì)稱軸;
(2)試探索拋物線的對(duì)稱軸上存在幾個(gè)點(diǎn)P,使三角形PAB是直角三角形,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

分解因式2x3-12x2+18x=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,△ABC中,已知BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF.
(1)證明:△BDE≌△CDF;
(2)給△ABC添加一個(gè)條件
 
,使AD平分∠BAC.
(直接填寫添加的條件,不需要證明.)

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