Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點A（﹣4，0），B（﹣1，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第三象限的拋物線上有一動點D．

①如圖（1），若四邊形ODAE是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，當平行四邊形ODAE的面積為6時，請判斷平行四邊形ODAE是否為菱形？說明理由．

②如圖（2），直線y=x+3與拋物線交于點Q、C兩點，過點D作直線DF⊥x軸于點H，交QC于點F．請問是否存在這樣的點D，使點D到直線CQ的距離與點C到直線DF的距離之比為：2？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把點A（﹣4，0）、B（﹣1，0）代入解析式y(tǒng)=ax²+bx+3，

得，解得，

∴拋物線的解析式為：y=x²+x+3．

（2）①如答圖2﹣1，過點D作DH⊥x軸于點H．

∵S_▱ODAE=6，OA=4，

∴S_△AOD=OA•DH=3，

∴DH=．

因為D在第三象限，所以D的縱坐標為負，且D在拋物線上，

∴x²+x+3=﹣，

解得：x₁=﹣2，x₂=﹣3．

∴點D坐標為（﹣2，﹣）或（﹣3，﹣）．

當點D為（﹣2，﹣）時，DH垂直平分OA，平行四邊形ODAE為菱形；

當點D為（﹣3，﹣）時，OD≠AD，平行四邊形ODAE不為菱形．

②假設(shè)存在．

如答圖2﹣2，過點D作DM⊥CQ于M，過點C作CN⊥DF于N，則DM：CN=：2．

設(shè)D（m，m²+m+3）（m＜0），則F（m，m+3）．

∴CN=﹣m，NF=﹣m

∴CF==﹣m．

∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，

∴△DMF∽△CNF，

∴，

∴DF=CF=﹣m．

∴DN=NF+DF=﹣m﹣m=﹣m．

又DN=3﹣（m²+m+3）=﹣m²﹣m，

∴﹣m²﹣m=﹣m

解得：m=﹣或m=0（舍去）

∴m²+m+3=﹣

∴D（﹣，﹣）．

綜上所述，存在滿足條件的點D，點D的坐標為（﹣，﹣）．