【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,點D是△ABC內(nèi)一點,DB=DC,∠DCB=30°,點E是BD延長線上一點,AE=AB.

(1)求∠ADE的度數(shù);

(2)求證:DE=AD+DC;

【答案】(1)60°;(2)見解析

【解析】試題分析:(1)ABC中,AB=AC,BAC=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC=∠ACB=75°,DB=DC,∠DCB=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)再求得∠DBC=∠DCB=30°,即可得∠ABD=45°,易證AD所在直線垂直平分BC,根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得AD平分∠BAC,即可求得∠BAD=15°,利用三角形外角的性質(zhì)即可求得∠ADE=60°;(2)如圖1,在線段DE上截取DM=AD,連接AM,證明ABD≌△AEM,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等和線段的和差即可證得結(jié)論.

試題解析:

(1)∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB==75°,∵DB=DC,∠DCB=30°,∴∠DBC=∠DCB=30°,

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°,∵AB=AC,DB=DC,∴AD所在直線垂直平分BC,

∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC=15°,∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°;

(2)如圖1,在線段DE上截取DM=AD,連接AM,

∵∠ADE=60°,DM=AD,

∴△ADM是等邊三角形,∴∠ADB=∠AME=120°

∵AE=AB,∴∠ABD=∠E,

△ABD△AEM中,

∠ADB=∠AME,∠ABD=∠E,AB=AE,

∴△ABD≌△AEM(AAS),

∴BD=ME,∵BD=CD,∴CD=ME,

∵DE=DM+ME,∴DE=AD+CD.

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