Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點．

（1）已知點A(3，1)，連結OA，作如下探究：

探究一：平移線段OA，使點O落在點B.設點A落在點C,若點B的坐標為(1，2)，請在圖1中作出BC，點C的坐標是_________；

探究二：將線段OA繞點O逆時針旋轉90°，設點A落在點D.則點D的坐標是_______.

（2） 已知四點O(0，0)，A (a，b)， C，B(c，d)，順次連結O，A，C，B．

若所得到的四邊形是正方形，請直接寫出a，b，c，d應滿足的關系式是________．

Answer 1

【答案】 （4，3） （a+c，b+d）； a=d且b=-c或b=c且a=-d．

【解析】（1）由于點A（3，1），連接OA，平移線段OA，使點O落在點B．設點A落在點C，若點B的坐標為（1，2），由此即可得到平移方法，然后利用平移方法即可確定在圖1中作出BC，并且確定點C的坐標；又將線段OA繞點O逆時針旋轉90度，設點A落在點D，根據旋轉的性質和方向可以確定點D的坐標；
（2）已知四點O（0，0），A（a，b），C，B（c，d），順次連接O，A，C，B．
①若所得到的四邊形為平行四邊形，那么得到OA∥CB，根據平移的性質和已知條件即可確定點C的坐標；
②若所得到的四邊形是正方形，那么根據正方形的性質可以得到a=d且b=-c或b=c且a=-d．

解：（1）探究一：
∵點A（3，1），連接OA，平移線段OA，使點O落在點B．
設點A落在點C，若點B的坐標為（1，2），
則C的坐標為（4，3），如圖1所示：

探究二：
∵將線段OA繞點O逆時針旋轉90度，
設點A落在點D．
則點D的坐標是（-1，3），如圖2所示；

（2）∵四點O（0，0），A（a，b），C，B（c，d），順次連接O，A，C，B．
①若所得到的四邊形為平行四邊形，
那么OA∥CB，
∴OA平移到OB的位置，
點C的坐標為（a+c，b+d）；
②若所得到的四邊形是正方形，
那么根據正方形的性質可以得到a=d且b=-c或b=c且a=-d．
“點睛”此題分別考查了坐標與圖形的變換、平由四邊形、正方形的性質等知識，綜合性比較強，要求學生熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決這類問題．