Question

【題目】如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△P′AB．

（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；

（2）求∠APB的大小．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）150°

【解析】試題分析：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，于是可判斷△AP′P為等邊三角形，得到PP′=AP=5，∠APP′=60°，接著根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°，然后利用∠APB=∠APP′+∠BPP′求出∠APB的度數(shù)．

試題解析：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，

∴∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，

∴△AP′P為等邊三角形，

∴PP′=AP=5，∠APP′=60°，

在△BPP′中，∵PP′=5，BP=12，BP′=13，

∴PP′2+BP2=BP′2，

∴△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，

∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．

答：點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離為5，∠APB的度數(shù)為150°．