Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連結(jié)CD．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2+6x+5；(2)①S△PBC的最大值為；②存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(﹣，﹣)或(0，5)．

【解析】

(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出二次函數(shù)解析式；

(2)①如圖1，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為：y＝x+1，設(shè)點(diǎn)G(t，t+1)，則點(diǎn)P(t，t2+6t+5)，利用三角形面積公式求出最大值即可；

②設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，﹣)，過(guò)該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為﹣1，求出 直線BC中垂線的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣4…③，同理直線CD的表達(dá)式為：y＝2x+2…④，、聯(lián)立③④并解得：x＝﹣2，即點(diǎn)H(﹣2，﹣2)，同理可得直線BH的表達(dá)式為：y＝x﹣1…⑤，聯(lián)立⑤和y＝x2+6x+5并解得：x＝﹣，即可求出P點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P(P′)在直線BC上方時(shí)，根據(jù)∠PBC＝∠BCD求出BP′∥CD，求出直線BP′的表達(dá)式為：y＝2x+5，聯(lián)立y＝x2+6x+5和y＝2x+5，求出x，即可求出P.

解：(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，

解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+6x+5…①，

令y＝0，則x＝﹣1或﹣5，

即點(diǎn)C(﹣1，0)；

(2)①如圖1，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線BC的表達(dá)式為：y＝x+1…②，

設(shè)點(diǎn)G(t，t+1)，則點(diǎn)P(t，t2+6t+5)，

S△PBC＝PG(xC﹣xB)＝(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣t2﹣t﹣6，

∵-＜0，

∴S△PBC有最大值，當(dāng)t＝﹣時(shí)，其最大值為；

②設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)H，

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，

∵∠PBC＝∠BCD，

∴點(diǎn)H在BC的中垂線上，

線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，﹣)，

過(guò)該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為﹣1，

設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為：y＝﹣x+m，將點(diǎn)(﹣，﹣)代入上式并解得：

直線BC中垂線的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣4…③，

同理直線CD的表達(dá)式為：y＝2x+2…④，

聯(lián)立③④并解得：x＝﹣2，即點(diǎn)H(﹣2，﹣2)，

同理可得直線BH的表達(dá)式為：y＝x﹣1…⑤，

聯(lián)立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4(舍去﹣4)，

故點(diǎn)P(﹣，﹣)；

當(dāng)點(diǎn)P(P′)在直線BC上方時(shí)，

∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，

則直線BP′的表達(dá)式為：y＝2x+s，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：s＝5，

即直線BP′的表達(dá)式為：y＝2x+5…⑥，

聯(lián)立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，

故點(diǎn)P(0，5)；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(﹣，﹣)或(0，5)．