【題目】如圖,已知拋物線yax2+bx+5經(jīng)過(guò)A(50)B(4,﹣3)兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,連結(jié)CD

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t

①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí),求△PBC的面積的最大值;

②該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)yx2+6x+5;(2)SPBC的最大值為;②存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,﹣)(0,5)

【解析】

(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求出二次函數(shù)解析式;

(2)①如圖1,過(guò)點(diǎn)Py軸的平行線交BC于點(diǎn)G,將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:直線BC的表達(dá)式為:yx+1,設(shè)點(diǎn)G(t,t+1),則點(diǎn)P(t,t2+6t+5),利用三角形面積公式求出最大值即可;

②設(shè)直線BPCD交于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí),求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣),過(guò)該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為﹣1,求出 直線BC中垂線的表達(dá)式為:y=﹣x4…③,同理直線CD的表達(dá)式為:y2x+2…④,、聯(lián)立③④并解得:x=﹣2,即點(diǎn)H(2,﹣2),同理可得直線BH的表達(dá)式為:yx1…⑤,聯(lián)立⑤和yx2+6x+5并解得:x=﹣,即可求出P點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)P(P′)在直線BC上方時(shí),根據(jù)∠PBC=∠BCD求出BP′CD,求出直線BP′的表達(dá)式為:y2x+5,聯(lián)立yx2+6x+5y2x+5,求出x,即可求出P.

解:(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:,

解得:

故拋物線的表達(dá)式為:yx2+6x+5…①,

y0,則x=﹣1或﹣5,

即點(diǎn)C(1,0)

(2)①如圖1,過(guò)點(diǎn)Py軸的平行線交BC于點(diǎn)G,

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:

直線BC的表達(dá)式為:yx+1…②,

設(shè)點(diǎn)G(t,t+1),則點(diǎn)P(t,t2+6t+5)

SPBCPG(xCxB)(t+1t26t5)=﹣t2t6,

-0,

SPBC有最大值,當(dāng)t=﹣時(shí),其最大值為;

②設(shè)直線BPCD交于點(diǎn)H,

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí),

∵∠PBC=∠BCD,

∴點(diǎn)HBC的中垂線上,

線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣)

過(guò)該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為﹣1,

設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為:y=﹣x+m,將點(diǎn)(,﹣)代入上式并解得:

直線BC中垂線的表達(dá)式為:y=﹣x4…③,

同理直線CD的表達(dá)式為:y2x+2…④,

聯(lián)立③④并解得:x=﹣2,即點(diǎn)H(2,﹣2),

同理可得直線BH的表達(dá)式為:yx1…⑤,

聯(lián)立①⑤并解得:x=﹣或﹣4(舍去﹣4),

故點(diǎn)P(,﹣);

當(dāng)點(diǎn)P(P′)在直線BC上方時(shí),

∵∠PBC=∠BCD,∴BP′CD,

則直線BP′的表達(dá)式為:y2x+s,將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得:s5,

即直線BP′的表達(dá)式為:y2x+5…⑥,

聯(lián)立①⑥并解得:x0或﹣4(舍去﹣4)

故點(diǎn)P(0,5);

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,﹣)(05)

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1)求線段BC的長(zhǎng)度;

2)試問(wèn):直線AC與直線AB是否垂直?請(qǐng)說(shuō)明理由;

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1)求拋物線的解析式,并寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo);

2)過(guò)點(diǎn)軸于點(diǎn),求面積的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);

3)在(2)的條件下,若點(diǎn)軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn),使得以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.B.C.D.

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請(qǐng)你根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解答下列問(wèn)題:

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(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

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(4)請(qǐng)你估計(jì)全校 2000 名學(xué)生所捐圖書(shū)的數(shù)量.

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1)求的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;

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