【題目】問題背景:如圖1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于點D,則D為BC的中點,∠BAD=∠BAC=60°,于是 = =;
遷移應用:如圖2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三點在同一條直線上,連接BD.
①求證:△ADB≌△AEC;
②請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關系式;
拓展延伸:如圖3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC內(nèi)作射線BM,作點C關于BM的對稱點E,連接AE并延長交BM于點F,連接CE,CF.
①證明△CEF是等邊三角形;
②若AE=5,CE=2,求BF的長.
【答案】遷移應用:①證明見解析;②CD=AD+BD;拓展延伸:①證明見解析;②3.
【解析】
遷移應用:①如圖②中,只要證明∠DAB=∠CAE,即可根據(jù)SAS解決問題;
②結論:CD=AD+BD.由△DAB≌△EAC,可知BD=CE,在Rt△ADH中,DH=ADcos30°=AD,由AD=AE,AH⊥DE,推出DH=HE,由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD,即可解決問題;
拓展延伸:①如圖3中,作BH⊥AE于H,連接BE.由BC=BE=BD=BA,FE=FC,推出A、D、E、C四點共圓,推出∠ADC=∠AEC=120°,推出∠FEC=60°,推出△EFC是等邊三角形;
②由AE=5,EC=EF=2,推出AH=HE=2.5,FH=4.5,在Rt△BHF中,由∠BFH=30°,可得=cos30°,由此即可解決問題.
遷移應用:①證明:如圖②
∵∠BAC=∠DAE=120°,
∴∠DAB=∠CAE,
在△DAE和△EAC中,
∴△DAB≌△EAC,
②解:結論:CD=AD+BD.
理由:如圖2-1中,作AH⊥CD于H.
∵△DAB≌△EAC,
∴BD=CE,
在Rt△ADH中,DH=ADcos30°=AD,
∵AD=AE,AH⊥DE,
∴DH=HE,
∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD.
拓展延伸:①證明:如圖3中,作BH⊥AE于H,連接BE.
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴△ABD,△BDC是等邊三角形,
∴BA=BD=BC,
∵E、C關于BM對稱,
∴BC=BE=BD=BA,FE=FC,
∴A、D、E、C四點共圓,
∴∠ADC=∠AEC=120°,
∴∠FEC=60°,
∴△EFC是等邊三角形,
②解:∵AE=5,EC=EF=2,
∴AH=HE=2.5,FH=4.5,
在Rt△BHF中,∵∠BFH=30°,
∴=cos30°,
∴BF==3=3.
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【題目】如圖,已知∠1=∠2,則下列條件中,不能使△ABC≌△DBC成立的是 ( 。
A. AB=CD B. AC=BD C. ∠A=∠D D. ∠ABC=∠DCB
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【題目】如圖,邊長一定的正方形ABCD,Q為CD上一個動點,AQ交BD于點M,過M作MN⊥AQ交BC于點N,作NP⊥BD于點P,連接NQ,下列結論:①AM=MN;②MP= BD;③BN+DQ=NQ;④ 為定值.其中一定成立的是 .
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【題目】如圖1,把一張正方形紙片對折得到長方形ABCD,再沿∠ADC的平分線DE折疊,如圖2,點C落在點C′處,最后按圖3所示方式折疊,使點A落在DE的中點A′處,折痕是FG,若原正方形紙片的邊長為9cm,則FG=_____cm.
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【題目】京廣高速鐵路工程指揮部,要對某路段工程進行招標,接到了甲、乙兩個工程隊的投標書.從投標書中得知:甲隊單獨完成這項工程所需天數(shù)是乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)的;若由甲隊先做10天,剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天完成.
(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天?
(2)已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元,乙隊每天的施工費用為5.6萬元.工程預算的施工費用為500萬元.為縮短工期并高效完成工程,擬安排預算的施工費用是否夠用?若不夠用,需追加預算多少萬元?請給出你的判斷并說明理由.
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分別過B,C向經(jīng)過點A的直線EF作垂線,垂足為E,F.
(1)如圖1,當EF與斜邊BC不相交時,請證明EF=BE+CF;
(2)如圖2,當EF與斜邊BC相交時,其他條件不變,寫出EF、BE、CF之間的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)如圖3,猜想EF、BE、CF之間又存在怎樣的數(shù)量關系,寫出猜想,不必說明理由.
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【題目】列方程解應用題:
老舍先生曾說“天堂是什么樣子,我不曉得,但從我的生活經(jīng)驗去判斷,北平之秋便是天堂。”(摘自《住的夢》)金黃色的銀杏葉為北京的秋增色不少。
小宇家附近新修了一段公路,他想給市政寫信,建議在路的兩邊種上銀杏樹。他先讓爸爸開車駛過這段公路,發(fā)現(xiàn)速度為60千米/小時,走了約3分鐘,由此估算這段路長約_______千米。
然后小宇查閱資料,得知銀杏為落葉大喬木,成年銀杏樹樹冠直徑可達8米。小宇計劃從路的起點開始,每a米種一棵樹,繪制示意圖如下:
考慮到投入資金的限制,他設計了另一種方案,將原計劃的a擴大一倍,則路的兩側共計減少200棵樹,請你求出a的值。
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