【題目】如圖,邊長一定的正方形ABCD,Q為CD上一個動點,AQ交BD于點M,過M作MN⊥AQ交BC于點N,作NP⊥BD于點P,連接NQ,下列結(jié)論:①AM=MN;②MP= BD;③BN+DQ=NQ;④ 為定值.其中一定成立的是 .
【答案】①②③④
【解析】解:如圖1所示:
作AU⊥NQ于U,連接AN,AC,
∵∠AMN=∠ABC=90°,
∴A,B,N,M四點共圓,
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,
∴∠ANM=∠NAM=45°,
∴AM=MN,故①正確.
由同角的余角相等知,∠HAM=∠PMN,
在△AHM和△MPN中,
,
∴△AHM≌△MPN(AAS),
∴MP=AH= AC= BD,故②正確,
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°,
∴△ADQ繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度至△ABR,使AD和AB重合,連接AN,
則∠RAQ=90°,△ABR≌△ADQ,
∴AR=AQ,∠RAN=90°﹣45°=45°=∠NAM,
在△AQN和△ANR中,
,
∴△AQN≌△ANR(SAS),
∴NR=NQ,
則BN=NU,DQ=UQ,
∴點U在NQ上,有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正確.
如圖2所示,作MS⊥AB,垂足為S,作MW⊥BC,垂足為W,點M是對角線BD上的點,
∴四邊形SMWB是正方形,
∴MS=MW=BS=BW,∠SMW=90°,
∴∠AMS=∠NMW,
在△AMS和△NMW中,
,
∴△AMS≌△NMW(ASA),
∴AS=NW,
∴AB+BN=SB+BW=2BW,
∵BW:BM=1: ,
∴ = = ,故④正確.
所以答案是:①②③④.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長BD到點C,使DC=BD,連接AC,過點D作DE⊥AC,垂足為E.
(1)求證:DE為⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為5,∠BAC=60°,求DE的長.
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【題目】2018年5月14日川航3U863航班擋風玻璃在高空爆裂,機組臨危不亂,果斷應(yīng)對,正確處置,順利返航,避免了一場災(zāi)難的發(fā)生,創(chuàng)造了世界航空史上的奇跡!下表給出了距離地面高度與所在位置的溫度之間的大致關(guān)系.根據(jù)下表,請回答以下幾個問題:
距離地面高度(千米) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
所在位置的溫度(℃) | 20 | 14 | 8 | 2 |
|
(1)上表反映的兩個變量中,______是自變量,______是因變量.
(2)若用h表示距離地面的高度,用y表示表示溫度,則y與h的之間的關(guān)系式是:__________;
當距離地面高度5千米時,所在位置的溫度為:_________℃.
如圖是當日飛機下降過程中海拔高度與玻璃爆裂后立即返回地面所用時間關(guān)系圖.根據(jù)圖象回答以下問題:
(3)點A表示的意義是什么?返回途中飛機在2千米高空水平大約盤旋了幾分鐘?
(4)飛機發(fā)生事故時所在高空的溫度是多少?
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【題目】如圖,已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為8,B是數(shù)軸上一點,且AB=14.動點P從點A出發(fā),以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,設(shè)運動時間為t(t>0)秒.
(1)寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù) ,點P表示的數(shù) (用含t的代數(shù)式表示);
(2)動點Q從點B出發(fā),以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,若點P、Q同時出發(fā),問點P運動多少秒時追上點Q?
(3)若M為AP的中點,N為PB的中點.點P在運動的過程中,線段MN的長度是否發(fā)生變化?若變化,請說明理由;若不變,請你畫出圖形,并求出線段MN的長.
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【題目】如圖,直線和直線互相垂直,垂足為,直線于點B,E是線段AB上一定點,D為線段OB上的一動點(點D不與點O、B重合),直于點,連接AC.
(1)當,則___________°;
(2)當時,請判斷CD與AC的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若、的角平分線的交點為P,當點D在線段上運動時,問的大小是否會發(fā)生變化?若不變,求出的大小,并說明理由;若變化,求其變化范圍.
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【題目】問題背景:如圖1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于點D,則D為BC的中點,∠BAD=∠BAC=60°,于是 = =;
遷移應(yīng)用:如圖2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三點在同一條直線上,連接BD.
①求證:△ADB≌△AEC;
②請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式;
拓展延伸:如圖3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC內(nèi)作射線BM,作點C關(guān)于BM的對稱點E,連接AE并延長交BM于點F,連接CE,CF.
①證明△CEF是等邊三角形;
②若AE=5,CE=2,求BF的長.
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【題目】如圖,已知O為直線BC上一定點,點A在直線外一定點.在直線BC上取點P,使得以O、A、P為頂點的三角形為等腰三角形.
(1)當∠AOC=30°時,如果我們通過分類討論、畫圖嘗試可以找到滿足條件的點P共有______個.
(2)若在直線BC上有且只有兩個滿足條件的點P,則∠AOC=______.
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