【題目】如圖,已知二次函數(shù)(a≠0)的圖像與x軸交于點A(-2,0)、B,與y軸交于點C,tan∠ABC=2.

(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標;

(2)設(shè)直線CD交x軸于點E,過點B作x軸的垂線,交直線CD于點F,將拋物線沿其對稱軸向上平移,使拋物線與線段EF總有公共點.試探究:拋物線最多可以向上平移多少個單位長度?

(3)在線段OB的垂直平分線上是否存在點P,使得經(jīng)過點P的直線PM垂直于直線CD,且與直線OP的夾角為75°?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;

【答案】(1) y=-(x-1)+9,(1,9);(2) 72個單位;(3)見解析.

【解析】1)易知點C的坐標,那么在Rt△BOC中,根據(jù)tan∠ABC的值即可得到點B的坐標.然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,通過對解析式進行配方能得到頂點D的坐標;

(2)首先確定直線CD的解析式以及點E的坐標,易得出△EOC是等腰直角三角形的結(jié)論,那么在四邊形ENPM(以解答圖為參考)中,根據(jù)四邊形內(nèi)角和可以求出∠OPN的度數(shù),那么PN的長就可以在Rt△OPN中求出,以此求得點P的坐標;

(3)若拋物線向上平移,首先表示出平移后的函數(shù)解析式;當x=-8時(與點E橫坐標相同),求出新函數(shù)的函數(shù)值,若拋物線與線段EF有公共點,那么該函數(shù)值應(yīng)不大于點E的縱坐標.當x=4時(與點F的橫坐標相同),方法同上,結(jié)合上述兩種情況,即可得到函數(shù)圖象的最大平移單位.

(1)由拋物線的解析式知,點C(0,8),即 OC=8;

Rt△OBC中,OB=OCtan∠ABC=8×=4,則 B(4,0).

A、B的坐標代入拋物線的解析式中,得:

,解得,

∴拋物線的解析式:y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,頂點D(1,9);

(2)設(shè)直線CD的解析式為:y=kx+8,

將點D坐標(1,9)代入上式,得:k=1;

∴直線CD:y=x+8,點E(-8,0),F(xiàn)(4,12).

設(shè)拋物線向上平移m個單位長度(m>0),則拋物線的解析式為:y=-(x-1)2+9+m;

x=-8時,y=m-72,

x=4時,y=m,

∴m-72≤0 m≤12,

∴0<m≤72,

∴拋物線最多向上平移72個單位.

(3)存在符合條件的P點, 點E(-8,0).

∴OC=OE=8,∠CEB=45°.

在四邊形EMPN中(如圖),∠MPN=180°-∠CEB=135°(∠PME、∠PNO都是直角),

①當∠OPM=75°時,∠OPN=135°-75°=60°;

在Rt△OPN中,ON=OB=2,PN=;

②當∠OPQ=75°時,∠OPN=135°+75°-180°=30°,

在Rt△OPN中,ON=OB=2,PN=2;

綜上,存在符合條件的P點,且坐標為 (2,)或(2,2).

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(1)求的度數(shù);

(2)已知在燈塔的周圍25海里內(nèi)有暗礁,問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全?

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(1)求證:CEAD;

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(說明:4055分為不合格,5570分為合格,7085分為良好,85100分為優(yōu)秀)

請根據(jù)以上信息,解答下列問題:

1)表中的a____b____;(2)根據(jù)頻數(shù)分布表,畫出相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖;

3)如果該校八年級共有150名學生,根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計該校八年級學生身體素質(zhì)良好及以上的人數(shù)為___________

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1)求AB兩種型號電腦每臺價格各為多少萬元?

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3)請你估計該市初二學生每學期參加綜合實踐活動的平均天數(shù)大約是多少天(精確到個位)?

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(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤;

(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺,其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍,設(shè)購進A型電腦x臺,這100臺電腦的銷售總利潤為y元.

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該商店購進A型、B型電腦各多少臺,才能使銷售總利潤最大?

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