Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣4x﹣5與x軸交于A，B兩點(diǎn)（電B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸．

（2）如圖1，點(diǎn)E（m，n）為拋物線上一點(diǎn)，且2＜m＜5，過點(diǎn)E作EF∥x軸，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，作EH⊥x軸于點(diǎn)H，求四邊形EHDF周長的最大值．

（3）如圖2，點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5），x=2；（2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．

【解析】

（1）分別令x=0和y=0代入拋物線的解析式中，可得A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對稱

性，可得對稱軸；

（2）根據(jù)矩形周長公式表示四邊形EHDF周長，并根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得四邊形EHDF

周長的最大值；

（3）分三種情況：

①當(dāng)∠CBP=90°時(shí)，如圖2，根據(jù)△PDB∽△BOC，列比例式得：PD=DB，可得結(jié)論；

②當(dāng)∠BCP=90°時(shí)，如圖3，根據(jù)△PCG∽△BDG，則=，可得PG的長，從而寫出P

的坐標(biāo)；

③以AB為直徑畫圓，交對稱軸于P1、P2，如圖4，根據(jù)△P1DB∽△CHP1，則，

列方程可得結(jié)論．

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣4x﹣5=0，

x1=5，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（5，0），

由對稱性得：拋物線的對稱軸是：

（2）如圖1，∵E（m，n），且2＜m＜5，

∴E在第四象限，

∴EF=m﹣2，EH=n=﹣m2+4m+5，

設(shè)四邊形EHDF周長為W，

則W=2（EF+EH）=2（m﹣2﹣m2+4m+5）=﹣2m2+10m+6

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形EHDF周長的最大值是；

（3）設(shè)P（2，y），

分三種情況：

①當(dāng)∠CBP=90°時(shí)，如圖2，

∴∠PBO=∠OCB，

∵∠PDB=∠COB=90°，

∴△PDB∽△BOC，

∴

∴PD=DB，

∴y=5﹣2=3，

∴P（2，3）；

②當(dāng)∠BCP=90°時(shí)，如圖3，

∵∠OBC=45°，

∴△GDB是等腰直角三角形，

∴BD=DG=3，

∴

∵

∴

∵△PCG∽△BDG，

∴

∴

∴PG=4，

∴P（2，﹣7）；

③以AB為直徑畫圓，交對稱軸于P1、P2，如圖4，則∠CP1B=∠CP2B=90°，

過C作CH⊥對稱軸于H，

∴△P1DB∽△CHP1，

∴,

∴

∴y1=﹣6（舍），y2=1，

∴P1（2，1），

同理得：P2（2，﹣6）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．