【題目】已知拋物線(a>0)與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側),點P是拋物線上一點,且PB=AB,∠PBA=120°,如圖所示.
(1)求拋物線的解析式.
(2)設點M(m,n)為拋物線上的一個動點,且在曲線PA上移動.
①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時,是否存在點M使△APM的面積為?若存在,求點M的坐標;若不存在,請說明理由.
②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時,求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標.
【答案】(1);(2)①存在,M(3,);②M(,)或(,)時,|m|+|n|的最大值為.
【解析】
試題分析:(1)先求出A、B兩點坐標,然后過點P作PC⊥x軸于點C,根據(jù)∠PBA=120°,PB=AB,分別求出BC和PC的長度即可得出點P的坐標,最后將點P的坐標代入二次函數(shù)解析式即;
(2)①過點M作ME⊥x軸于點E,交AP于點D,分別用含m的式子表示點D、M的坐標,然后代入△APM的面積公式DMAC,根據(jù)題意列出方程求出m的值;
②根據(jù)題意可知:n<0,然后對m的值進行分類討論,當﹣2≤m≤0時,|m|=﹣m;當0<m≤2時,|m|=m,列出函數(shù)關系式即可求得|m|+|n|的最大值.
試題解析:(1)如圖1,令y=0代入,∴,∵a>0,∴,∴x=±2,∴A(﹣2,0),B(2,0),∴AB=4,過點P作PC⊥x軸于點C,∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°,∵PB=AB=4,∴cos∠PBC=,∴BC=2,由勾股定理可求得:PC=,∵OC=OC+BC=4,∴P(4,),把P(4,)代入,∴=16a﹣4a,∴a=,∴拋物線解析式為:;
(2)∵點M在拋物線上,∴,∴M的坐標為(m,);
①當點M在曲線PB之間(含端點)移動時,∴2≤m≤4,如圖2,過點M作ME⊥x軸于點E,交AP于點D,設直線AP的解析式為y=kx+b,把A(﹣2,0)與P(4,)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直線AP的解析式為:,令x=m代入,∴,∴D的坐標為(m,),∴DM==,∴S△APM=DMAE+DMCE
=DM(AE+CE)=DMAC=,當S△APM=時,∴=,∴解得m=3或m=﹣1,∵2≤m≤4,∴m=3,此時,M的坐標為(3,);
②當點M在曲線BA之間(含端點)移動時,∴﹣2≤m≤2,n<0,當﹣2≤m≤0時,∴|m|+|n|=﹣m﹣n==,當m=時,∴|m|+|n|可取得最大值,最大值為,此時,M的坐標為(,),當0<m≤2時,∴|m|+|n|=m﹣n==,當m=時,∴|m|+|n|可取得最大值,最大值為,此時,M的坐標為(,),綜上所述,當點M在曲線BA之間(含端點)移動時,M的坐標為(,)或(,)時,|m|+|n|的最大值為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,以點P(-1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(B在C的左側),交y軸于A、D兩點(A在D的下方),AD=,將△ABC繞點P旋轉180°,得到△MCB.
(1)求B、C兩點的坐標;
(2)請在圖中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點M的坐標;
(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉,到與BC重合時停止,設直線l與CM交點為E,點Q為BE的中點,過點E作EG⊥BC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數(shù);若變化,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖,保留作圖痕跡:
①作∠ACB的平分線,交斜邊AB于點D;
②過點D作AC的垂線,垂足為點E.
(2)在(1)作出的圖形中,若CB=6,DE=4,則△BCD的面積為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線經(jīng)過點M(1,3)和N(3,5)
(1)試判斷該拋物線與x軸交點的情況;
(2)平移這條拋物線,使平移后的拋物線經(jīng)過點A(﹣2,0),且與y軸交于點B,同時滿足以A、O、B為頂點的三角形是等腰直角三角形,請你寫出平移過程,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解全市九年級學生某次數(shù)學模擬考試情況,現(xiàn)從全市30000名九年級考生中隨機抽取部分學生的數(shù)學成績進行調(diào)查,并將調(diào)查結果繪制成如下圖表:
分數(shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
x<60 | 20 | 0.10 |
60≤x<70 | 28 | 0.14 |
70≤x<80 | 54 | 0.27 |
80≤x<90 | a | 0.20 |
90≤x<100 | 24 | 0.12 |
100≤x<110 | 18 | b |
110≤x<120 | 16 | 0.08 |
請根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)表格中的a= ,b= ;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)如果把成績在90分以上(含90分)定為優(yōu)秀,那么該市30000名九年級學生中本次數(shù)學模擬考試成績?yōu)閮?yōu)秀的學生約有多少名?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關于以下說法:①買一張彩票一定中獎;②從一副普通撲克牌中任意抽取一張,一定是紅桃;判斷正確的是( )
A.①②都正確B.只有①正確C.只有②正確D.①②都錯誤
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線.求證:
(1)∠1+∠2=90°;
(2)BE∥DF.
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