【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CF于點F.請你認真閱讀下面關(guān)于這個圖的探究片段,完成所提出的問題.

1)探究1:小強看到圖(*)后,很快發(fā)現(xiàn)AE=EF,這需要證明AEEF所在的兩個三角形全等,但ABEECF顯然不全等(一個是直角三角形,一個是鈍角三角形),考慮到點E是邊BC的中點,因此可以選取AB的中點M,連接EM后嘗試著去證AEMEFC就行了,隨即小強寫出了如下的證明過程:

證明:如圖1,取AB的中點M,連接EM

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+AEB=90°

又∵∠EAM+AEB=90°

∴∠EAM=FEC

∵點E,M分別為正方形的邊BCAB的中點

AM=EC

又可知BME是等腰直角三角形

∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=135°

∴△AEM≌△EFCASA

AE=EF

2)探究2:小強繼續(xù)探索,如圖2,若把條件E是邊BC的中點改為E是邊BC上的任意一點其余條件不變,發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立,請你證明這一結(jié)論.

3)探究3:小強進一步還想試試,如圖3,若把條件E是邊BC的中點改為E是邊BC延長線上的一點,其余條件仍不變,那么結(jié)論AE=EF是否成立呢?若成立請你完成證明過程給小強看,若不成立請你說明理由.

【答案】2)證明見解析;(3)成立,理由見解析

【解析】試題分析:(2)在AB上截取AM=EC,然后證明∠EAM=FEC,∠AME=∠ECF=135°,再利用“角邊角”證明△AEM和△EFC全等,然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明;

(3)延長BA到M,使AM=CE,然后證明∠BME=45°,從而得到∠BME=∠ECF,再利用兩直線平行,內(nèi)錯角相等證明∠DAE=∠BEA,然后得到∠MAE=∠CEF,再利用“角邊角”證明△MAE和△CEF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證.

試題解析:(2)探究2,證明:在AB上截取AM=EC,連接ME,

由(1)知EAM=∠FEC,

AM=EC,AB=BC,

BM=BE

∴∠BME=45°,

∴∠AME=∠ECF=135°,

∵∠AEF=90°,

∴∠FEC+∠AEB=90°,

∵∠EAM+∠AEB=90°,

∴∠EAM=∠FEC,

AEMEFC中, ,

∴△AEM≌△EFC(ASA),

AE=EF

(3)探究3:成立,

證明:延長BAM,使AM=CE,連接ME,

BM=BE

∴∠BME=45°,

∴∠BME=∠ECF=45°,

ADBE

∴∠DAE=∠BEA,

∵∠MAD=∠AEF=90°,

∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF,

MAE=∠CEF,

MAECEF中,

,

∴△MAE≌△CEF(ASA),

AE=EF

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,直線AB分別交y軸、x軸于A、B兩點,OA=2,tan∠ABO= ,拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點.

(1)求直線AB和這個拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點為D,求△ABD的面積;
(3)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N.求當(dāng)t取何值時,MN的長度l有最大值?最大值是多少?

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【題目】某花木公司在20天內(nèi)銷售一批馬蹄蓮.其中,該公司的鮮花批發(fā)部日銷售量y1(萬朵)與時間x(x為整數(shù),單位:天)部分對應(yīng)值如下表所示.

時間x(天)

0

4

8

12

16

20

銷量y1(萬朵)

0

16

24

24

16

0

另一部分鮮花在淘寶網(wǎng)銷售,網(wǎng)上銷售日銷售量y2(萬朵)與時間x(x為整數(shù),單位:天) 關(guān)系如圖所示.
(1)請你從所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示y1與x的變化規(guī)律,寫出y1與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(2)觀察馬蹄蓮網(wǎng)上銷售量y2與時間x的變化規(guī)律,請你設(shè)想商家采用了何種銷售策略使得銷售量發(fā)生了變化,并寫出銷售量y2與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(3)設(shè)該花木公司日銷售總量為y萬朵,寫出y與時間x的函數(shù)關(guān)系式,并判斷第幾天日銷售總量y最大,并求出此時最大值.

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(1)若B、C在DE的同側(cè)(如圖所示)且AD=CE.求證:ABAC

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A.72
B.36
C.16
D.9

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(2)如圖②,連結(jié)EC,若AE=2AC=4,求陰影部分的面積.

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A.20
B.25
C.30
D.40

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原式=y+2)(y+6+4 (第一步)

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=y+42(第三步)

=x24x+42(第四步)

回答下列問題:

1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的_______

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填徹底不徹底)若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________

3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x22x)(x22x+2+1進行因式分解.

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