【題目】如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,2),點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)B、C不重合),過點(diǎn)D作直線y=﹣x+m交線段OA于點(diǎn)E.

(1)矩形OABC的周長是 ;

(2)連結(jié)OD,當(dāng)OD=DE時(shí),求m的值;

(3)若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O1A1B1C1,試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC重疊部分的面積是否會(huì)隨著E點(diǎn)位置的變化而變化,若不變,求出該重疊部分的面積;若改變,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)24;(2)m=4;(3)矩形O1A1B1C1與矩形OABC重疊部分的面積不會(huì)隨著點(diǎn)E位置的變化而變化,且面積始終為5.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可得出線段OA、OC的長,再根據(jù)矩形的周長公式即可得出結(jié)論;

(2)根據(jù)直線DE的解析式可得出點(diǎn)D、E的坐標(biāo),再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出OE=2CD,從而得出關(guān)于m的一元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;

(3)設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M,OA與C1B1相交于點(diǎn)N,過點(diǎn)D作DHOA于點(diǎn)H,由此得出矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積.

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得出四邊形DNEM為平行四邊形,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可找出MED=MDE,從而得出四邊形DNEM為菱形,設(shè)該菱形的邊長為a,通過在RTDHN中利用勾股定理求出a的值,再根據(jù)菱形的面積公式求出S菱形DNEM為定值即可得出結(jié)論.

解:(1)在矩形OABC中,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,2),

AB=OC=2,BC=OA=10,

C矩形OABC=(OC+OA)×2=24.

故答案為:24.

(2)令y=﹣x+m中y=0,則﹣x+m=0,

解得:x=2m,即點(diǎn)E(2m,0);

令y=﹣x+m中y=2,則﹣x+m=2,

解得:x=2m﹣4,即點(diǎn)D(2m﹣4,2).

OD=DE,四邊形OABC為矩形,

OE=2CD,即2m=2×(2m﹣4),

解得:m=4.

(3)設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M,OA與C1B1相交于點(diǎn)N,過點(diǎn)D作DHOA于點(diǎn)H,如圖所示.

矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積.

由題意知:DMNE,DNME,

四邊形DNEM為平行四邊形.

根據(jù)軸對(duì)稱知,MED=NED,

DMNE,

∴∠MDE=NED,

∴∠MED=MDE,

MD=ME,

平行四邊形DNEM為菱形.

OC=2,

DH=2,

直線DE的解析式為y=﹣x+m,

HE=2DH=4.

設(shè)菱形DNEM 的邊長為a,

HN=HE﹣NE=OE﹣OH﹣NE=4﹣a,

在RTDHN中,(4﹣a)2+22=a2

解得:a=,

S菱形DNEM=NEDH=5,

矩形O1A1B1C1與矩形OABC重疊部分的面積不會(huì)隨著點(diǎn)E位置的變化而變化,且面積始終為5.

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; ; ;

②歸納:對(duì)于任意數(shù)a,

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; ; ; ; ;

④歸納:對(duì)于任意非負(fù)數(shù)a,

(2)應(yīng)用

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