Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上的中線(xiàn)CD為直徑作⊙O，與AC、BC分別交于點(diǎn)M、N，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E．過(guò)點(diǎn)N作NF⊥AB，垂足為F．

（1）求證：NF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3.

【解析】

（1）連接ON，根據(jù)切線(xiàn)的判定進(jìn)行證明；

（2）利用四邊形ONFH為矩形的判定和垂徑定理，勾股定理求解.

（1）證明：連接ON．

∵在Rt△ACB中，CD是邊AB的中線(xiàn)，

∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠B，

∵OC＝ON，

∴∠ONC＝∠DCB，

∴∠ONC＝∠B，

∴ON// AB

∵ NF⊥AB

∴∠NFB＝90°

∴∠ONF＝∠NFB=90°，

∴ON⊥NF

又∵NF過(guò)半徑ON的外端

∴NF是⊙O的切線(xiàn)

（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥ED,垂足為H，設(shè)⊙O的半徑為r

∵OH⊥ED, NF⊥AB , ON⊥NF，

∴∠OHD＝∠NFH=∠ONF=90°．

∴四邊形ONFH為矩形．

∴HF= ON=r，OH=NF=2

∴HD=HF-DF=r－1

在Rt△OHD中，∠OHD＝90°

∴OH2＋HD2＝OD2

即22＋（r－1）2＝r2

∴r＝．

∴HD=

∵OH⊥ED，且OH過(guò)圓心O

∴ED=2HD=3