【題目】已知:如圖,以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點(diǎn)D、E,過點(diǎn)D作DF⊥BC,垂足為F.
(1)求證:DF為⊙O的切線;
(2)若等邊三角形ABC的邊長為4,求DF的長;
(3)寫出求圖中陰影部分的面積的思路.(不求計(jì)算結(jié)果)

【答案】
(1)證明:連接OD,如圖,

∵△ABC為等邊三角形,

∴∠A=∠C=60°,

∵OA=OD,

∴∠ODA=∠A=60°,

∴∠ODA=∠C,

∴OD∥BC,

∵DF⊥BC,

∴OD⊥BC,

∴DF為⊙O的切線


(2)解:∵等邊三角形ABC的邊長為4,

∴AB=AC=4,∠C=60°,

∵AO=AD=2,

∴CD=2,

在Rt△CDF中,∵sinC= ,

∴DF=2sin60°=


(3)解:連接OE,如圖,

∵CF= CD=1,

∴EF=CE﹣CF=1,

∴S陰影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE= (1+2) = π.


【解析】(1)連接OD,如圖,利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=60°,再證明OD∥BC,然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC,再根據(jù)切線的判定定理可判斷DF為⊙O的切線;(2)利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC=4,∠C=60°,則CD=2,然后在Rt△CDF中利用正弦的定義可計(jì)算出DF;(3)連接OE,如圖,根據(jù)扇形的面積公式,利用S陰影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE進(jìn)行計(jì)算.
【考點(diǎn)精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)和切線的判定定理是解答本題的根本,需要知道等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,銳角△ABC的高CDBE相交于點(diǎn)O , 圖中與△ODB相似的三角形有( 。
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

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【題目】某農(nóng)戶種植一種經(jīng)濟(jì)作物,總用水量y(米3)與種植時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式如圖所示.

(1)第20天的總用水量為多少米3?

(2)當(dāng)x≥20時(shí),求yx之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)種植時(shí)間為多少天時(shí),總用水量達(dá)到70003?

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【題目】如圖,O是直線AC上一點(diǎn),OB是一條射線,OD平分∠AOB,OE∠BOC內(nèi)部,∠BOE∠EOC,∠DOE70°,求∠EOC的度數(shù).

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【題目】同學(xué)們,足球是世界上第一大運(yùn)動(dòng),你熱愛足球運(yùn)動(dòng)嗎?已知在足球比賽中,勝一場得3分,平一場得1分,負(fù)一場得0分,一隊(duì)共踢了30場比賽,負(fù)了9場,共得47分,那么這個(gè)隊(duì)勝了( 。

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

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【題目】在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連結(jié)EC.如果AB=AC,∠BAC=90°. ①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖1,請你判斷線段CE、BD之間的位置和數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論);
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),請你在圖2畫出圖形,判斷①中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷.

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【題目】已知,點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=4,PB=3,PC=5.線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ,連接PQ.(1)求PQ的長。(2)求∠APB的度數(shù)。

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【題目】數(shù)軸上,AB兩點(diǎn)表示的數(shù)a,b滿足|a﹣6|+(b+12)2=0

(1)a=   ,b=   ;

(2)若小球MA點(diǎn)向負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)、小球NB點(diǎn)向正半軸運(yùn)動(dòng),兩球同時(shí)出發(fā),小球M運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位,當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到OB的中點(diǎn)時(shí),N點(diǎn)也同時(shí)運(yùn)動(dòng)到OA的中點(diǎn),則小球N的速度是每秒   個(gè)單位;

(3)若小球MN保持(2)中的速度,分別從AB兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),經(jīng)過   秒后兩個(gè)小球相距兩個(gè)單位長度.

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【題目】觀察下列各式:

13+23=1+8=9,而(1+2)2=9,∴13+23=(1+2)2;

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,∴13+23+33=(1+2+3)2;

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,∴13+23+33+43=(1+2+3+4)2;

∴13+23+33+43+53=(______ )2= ______ .

根據(jù)以上規(guī)律填空:

(1)13+23+33+…+n3=(______ )2=[ ______ ]2

(2)猜想:113+123+133+143+153= ______ .

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