Question

研究發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=ax²（a≠0）圖象上任何一點(diǎn)到定點(diǎn)（0，

1

4a

）和到定直線y=-

1

4a

的距離相等．我們把定點(diǎn)（0，

1

4a

）叫做拋物線y=ax²的焦點(diǎn)，定直線y=-

1

4a

叫做拋物線y=ax²的準(zhǔn)線．
（1）寫出函數(shù)y=

1

4

x2圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）等邊三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在二次函數(shù)y=

1

4

x2圖象上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求等邊三角形的邊長(zhǎng)；
（3）M為拋物線y=

1

4

x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y=

1

4

x2的焦點(diǎn)，P（1，3）為定點(diǎn)，求MP+MF的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

4a

），準(zhǔn)線方程為y=-

1

4a

，即可得出答案．
（2）根據(jù)題意可設(shè)A（x，y），B（-x，y），從而根據(jù)等邊三角形及拋物線的性質(zhì)可得出∠AOE=30°，繼而可得出|y|=

3

|x|，代入可得出x和y的值，也可求出等邊三角形的邊長(zhǎng)．
（3）點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，從而根據(jù)垂線段最短的知識(shí)可找到點(diǎn)M的位置，結(jié)合圖形可得出這個(gè)最小值．

解答：解：（1）由題意得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1），準(zhǔn)線方程為：y=-1；

（2）
設(shè)A（x，y），B（-x，y），
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOE=

1

2

∠AOB=30°，
∴y=

3

x，
將點(diǎn)A坐標(biāo)（x，y）=（x，

3

x）代入函數(shù)解析式，可得

3

x=

1

4

x²，
解得：x=4

3

，
故可得點(diǎn)A坐標(biāo)為（4

3

，12），三角形的邊長(zhǎng)=OA=

122+(4 3 )2

=8

3

．

（3）
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)N，
則由題意可得，MN=MF，
故可得：MP+MF=MP+MN，
結(jié)合圖形可得過(guò)點(diǎn)P作PE⊥準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，則PE于拋物線的交點(diǎn)M'能滿足MP+MF最小，
此時(shí)M'P+M'F=PE=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題得出函數(shù)的準(zhǔn)線與焦點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，注意解答過(guò)程中將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．