Question

在某省舉行的中學(xué)教師課件及觀摩課比賽中，其中一個參賽課件是這樣的：在平面上有n個過同一點P且半徑相等的圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其它交點，演示探索這樣的n個圓把平面劃分成幾個平面區(qū)域的問題．大屏幕上首先依次顯現(xiàn)了如下幾個場景：

試問：當(dāng)有n個圓按此規(guī)律相交時，可把平面劃分成多少個平面區(qū)域？這n個圓共有幾個交點？

Answer 1

考點：圓與圓的位置關(guān)系

專題：規(guī)律型

分析：首先根據(jù)題意列表：

圓的個數(shù)n	1	2	3	4	5	…	n
平面區(qū)域數(shù)Sn	2	4	7	11	16	…
圓的交點數(shù)ak	1	2	4	7	11	…

然后根據(jù)表格歸納規(guī)律，即可求得答案．

解答：解：根據(jù)已知列表得：

圓的個數(shù)n	1	2	3	4	5	…	n
平面區(qū)域數(shù)Sn	2	4	7	11	16	…
圓的交點數(shù)ak	1	2	4	7	11	…

則S₂-S₁=2，
S₃-S₂=3，
S₄-S₃=4，
S₅-S₄=5，
…
由此，不難推測：S_n-S_n-1=n．
把上面（n-1）個等式左、右兩邊分別相加，就得到：S_n-S₁=2+3+4+…+n，
∵S₁=2，
∴S_n=2+2+3+4+…+n=1+（1+2+3+4+…+n）=1+

n(n+1)

2

=

n2+n+2

2

．
∴n個圓過P點時，可把平面劃分成

n2+n+2

2

個平面區(qū)域；
同理：a₁=1，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
a₅-a₄=4，
…
a_n-1-a_n-2=n-2，
a_n-a_n-1=n-1．
n個式子相加a_n=1+（1+2+3+4+…+n-1）=1+

(n-1)n

2

=

n2-n+2

2

．
∴這n個圓共有

n2-n+2

2

個交點．

點評：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系．屬于規(guī)律型：圖形的變化類題目．解題關(guān)鍵是由特殊到一般，其中第（1）題因為S_n-1為n-1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個圓，即當(dāng)n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在S_n-1上，所以有S_n=S_n-1+n．