Question

【題目】如圖，P為⊙O外一點，PA、PB均為⊙O的切線，A和B是切點，BC是直徑．

求證：（1）∠APB=2∠ABC；

（2）AC∥OP．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）見解析

【解析】

(1)連接OA, ∠OAP＝∠OBP=90°,然后求出 PO垂直AB,從而導出∠APB＝2∠ABC；

(2) 連接AB交PO于F，根據(jù)切線的性質得到PO垂直平分AB，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠CAB=90°，于是∠CAB=∠OFB，所以AC∥OP．

（1）連接AO，

∵PA、PB均為⊙O的切線，A和B是切點，∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，PA=PB，

∴∠APB=2∠APO，∠OAP=90°，PO⊥AB，∴∠OAB+∠BAP=90°，∠BAP+∠APB=90°，

∴∠OAB=∠APB，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OBA=∠APO，∴∠APB=2∠ABC；

（2）設AB交OP于F，∵PA，PB是圓的切線，∴PA=PB，∵OA=OB ∴PO垂直平分AB．

∴∠OFB=90°．∵BC是直徑，∴∠CAB=90°．∴∠CAB=∠OFB．∴AC∥OP．