Question

【題目】如圖，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C，D，連結CD與OE交于點F.

(1)求證：∠1＝∠2.

(2)求證：OE是線段CD的垂直平分線．

(3)若∠1＝30°，OC＝2，求△OCD與△CDE的面積之差．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CE=DE，然后根據等邊對等角證明即可；

（2）利用“HL”證明△OCE和△ODE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OC=OD，再根據到線段兩端點距離相等的點在線段垂直平分線上證明．

（3）分別求出ΔOCD和ΔCDE的面積即可求出△OCD與△CDE的面積之差．

試題解析：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴CE=DE，∴∠1=∠2.

(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，

∵

∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)．

∴OC=OD.

又∵CE=DE，

∴OE是線段CD的垂直平分線．

(3)∵∠1=30°，∠OCE=90°，

∴∠OCD=60°.

∵OC=OD，

∴△OCD是邊長為2的等邊三角形，

∴CD=OC=2，∠COD=60°，

∴∠COE=∠DOE=∠COD=30°，

∴OE=2CE.

設CE=x，則OE=2x.

由勾股定理，得(2x)2=x2＋22，

解得x=，即CE=，OE=.

∵∠1=30°，∠EFC=90°，

∴EF=CE=，∴OF=OE－EF=，

∴S△OCD－S△CDE=·CD·OF－·CD·EF=