Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四邊形AOCP ， 其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖1，連接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD= ∠BAC= ×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正確；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等邊三角形；
故②正確；
如圖2，在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正確；
如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC= ABCH，
S四邊形AOCP=S△ACP+S△AOC= APCH+ OACD= APCH+ OACH= CH（AP+OA）= CHAC，
∴S△ABC=S四邊形AOCP；
故④正確．
故選D．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，以及對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解，了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）．