Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知（b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．

（1）如圖，若拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式．
（2）平移1中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上并沿AC方向滑動(dòng)距離為時(shí)，試證明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點(diǎn)．
（3）在2的情況下，若沿AC方向任意滑動(dòng)時(shí)，設(shè)拋物線與直線AC的另一交點(diǎn)為Q，取BC的中點(diǎn)N，試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），C的坐標(biāo)為（4，3）

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣1）．

∵拋物線過A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點(diǎn)，

∴，

解得：b=2，c=﹣1，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：.

（2）

如答題圖2，設(shè)頂點(diǎn)P在直線AC上并沿AC方向滑動(dòng)距離時(shí)，到達(dá)P′，作P′M∥y軸，PM∥x軸，交于M點(diǎn)，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），

∴直線AC的解析式為y=x﹣1，

∵直線的斜率為1，

∴△P′PM是等腰直角三角形，

∵PP′=，

∴P′M=PM=1，

∴拋物線向上平移1個(gè)單位，向右平移1個(gè)單位，

∵=，

∴平移后的拋物線的解析式為，

令y=0，則0=，

解得x1=1，x=52，

∴平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1，0），（5，0），

解，得或

∴平移后的拋物線與AC的交點(diǎn)為（1，0），

∴平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點(diǎn)（1，0）．

（3）

如答圖3，取點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q，取AB中點(diǎn)F，

連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四邊形PQFN為平行四邊形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==．

∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為．

【解析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如答題圖2，設(shè)頂點(diǎn)P在直線AC上并沿AC方向滑動(dòng)距離時(shí)，到達(dá)P′，作P′M∥y軸，PM∥x軸，交于M點(diǎn)，根據(jù)直線AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，進(jìn)而求得拋物線向上平移1個(gè)單位，向右平移1個(gè)單位，從而求得平移后的解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)，與直線AC的交點(diǎn)，即可證得結(jié)論；
（3）如答圖3所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B′，由分析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點(diǎn)）三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長度．