Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別角與A、B兩點(diǎn)，P、Q分別是線段OB、AB上的兩個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P從O出發(fā)一每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)Q從B出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒。

（1）求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）

（2）若C為OA的中點(diǎn)，連接PQ、CQ，以PQ、CQ為鄰邊作PQCD.

①是否存在時(shí)間t，使得坐標(biāo)軸切好將PQCD的面積分為1:5的兩個(gè)部分，若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由.

②直接寫出整個(gè)運(yùn)動過程中PQCD對角線DQ的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①t=1或1.5；②4≤DQ≤4

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB，再判斷出△BEQ∽△BOA，得出比例式，代值求解即可得出結(jié)論；

（2）①分兩種情況，利用同高的兩三角形的面積的比等于底的比，求解得出結(jié)論；

②利用兩點(diǎn)間距離公式，得出DQ2，再用函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解：（1）如圖1，

針對于直線y＝，

令x＝0，則y＝6，

∴B（0，6），

∴OB＝6，

令y＝0，則＝0，

∴x＝8，

∴A（8，0），

∴OA＝8，

根據(jù)勾股定理得，AB＝＝10，

由運(yùn)動知，BQ＝5t，

過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于E，

∴QE∥AO，

∴△BEQ∽△BOA，

∴，

∴，

∴BQ＝3t，EQ＝4t，

∴OE＝OB﹣BE＝6﹣3t，

∴Q（4t，6﹣3t）；

（2）連接DQ，CP，由運(yùn)動知，OP＝2t，

∴P（0，2t），

∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，

∴C（4，0），

∵四邊形CQPD是平行四邊形，

∴DQ與CP互相平分，

設(shè)D（m，n），

由（1）知，Q（4t，6﹣3t）；

∴4t+m＝4，6﹣3t+n＝2t，

∴m＝4﹣4t，n＝5t﹣6，

∴D（4﹣4t，5t﹣6），

①Ⅰ、當(dāng)x軸將將PQCD的面積分為1：5的兩個(gè)部分時(shí)，如圖2，

∵PC是平行四邊形PQCD的對角線，

∴S△PCQ＝S△PCD，

∵S△CDF：S四邊形CFPQ＝1：5，

∴S△CDF：S△CPF＝1：2，

∴DF：PF＝1：2，

∴PF：DF＝2：1，

過點(diǎn)D作DG⊥y軸于G，

∴OG＝6﹣5t，

∴DG∥FO，

∴，

∴，

∴t＝1，【注：點(diǎn)D本身在y軸上，為了解決問題，沒將點(diǎn)D放在y軸上】

Ⅱ、當(dāng)x軸將將PQCD的面積分為1：5的兩個(gè)部分時(shí)，如圖3，

過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，

同Ⅰ的方法得，t＝1.5，

即：坐標(biāo)軸剛好將PQCD的面積分為1：5的兩個(gè)部分時(shí)，t＝1秒或1.5秒；

②由（1）知，Q（4t，6﹣3t），

∵D（4﹣4t，5t﹣6），

∴DQ2＝（4﹣4t﹣4t）2+（6﹣3t﹣5t+6）2＝128（t﹣1）2+32，

由運(yùn)動知，0≤t≤2，

∴當(dāng)t＝1時(shí)，DQ2最小＝32，

∴DQ最小＝4，

當(dāng)t＝0或2時(shí)，DQ2最大＝160，

∴DQ最大＝4，

∴4≤DQ≤4．