Question

如圖，拋物線y=ax²+bx﹣經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）以點(diǎn)A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的半徑；

（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點(diǎn)P，連接PB，PC，請(qǐng)問(wèn)：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值的此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　

Answer 1

解答： 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），

∴把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x²+2x﹣；

（2）過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖1，

∵⊙A與BC相切，

∴AD為⊙A的半徑，

由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），

∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，

∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，

∴△ABD∽△CBO，

∴=，即=，解得AD=，

即⊙A的半徑為；

（3）∵C（0，﹣），

∴可設(shè)直線BC解析式為y=kx﹣，

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得k=，

∴直線BC的解析式為y=x﹣，

過(guò)P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)E，如圖2，

設(shè)P（x，﹣x²+2x﹣），則Q（x，x﹣），

∴PQ=（﹣x²+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x²+x=﹣（x﹣）²+，

∴S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）=PQ•OB=PQ=﹣（x﹣）²+，

∴當(dāng)x=時(shí)，S_△PBC有最大值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，△PBC的面積有最大值．