Question

某外語(yǔ)學(xué)校在圣誕節(jié)要舉行匯報(bào)演出，需要準(zhǔn)備一些圣誕帽，為了培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，學(xué)校決定自己制作這些圣誕帽．如果圣誕帽（圓錐形狀）的規(guī)格是母線長(zhǎng)42厘米，底面直徑為16厘米．
（1）求圣誕帽的側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角的度數(shù)（精確到度）；
（2）已知A種規(guī)格的紙片能做3個(gè)圣誕帽，B種規(guī)格的紙片能做4個(gè)圣誕帽，匯報(bào)演出需要26個(gè)圣誕帽，寫出A種規(guī)格的紙片y張與B種規(guī)格的紙片x張之間的函數(shù)關(guān)系式及其x的最大值與最小值；若自己制作時(shí)，A、B兩種規(guī)格的紙片各買多少?gòu)垥r(shí)，才不會(huì)浪費(fèi)紙張？
（3）現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為79厘米的正方形紙片，它最多能制作幾個(gè)這種規(guī)格的圣誕帽（圣誕帽的粘接處忽略不計(jì)）．請(qǐng)?jiān)诒壤�尺�?：15的正方形紙片上畫出圣誕帽的側(cè)面展開圖的裁剪草圖，并利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明其可行性．

Answer 1

分析：（1）利用圓錐的弧長(zhǎng)=圓錐的底面周長(zhǎng)可得圓心角的度數(shù)；
（2）利用26個(gè)圣誕帽的個(gè)數(shù)列出相應(yīng)的等量關(guān)系，可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后取得整數(shù)解的最大值與最小值即可；
（3）算出正方形的面積及圓錐側(cè)面積，讓正方形的面積除以圓錐側(cè)面積得到的整數(shù)解即為圣誕帽的個(gè)數(shù)，讓扇形的頂點(diǎn)在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，扇形一邊在正方形的一邊即可；根據(jù)扇形的兩條半徑的和小于對(duì)角線的長(zhǎng)，算出的∠MCP的度數(shù)和69°相加得90°即合適．

解答：解：（1）∵底面直徑為16厘米，
∴圓錐的底面周長(zhǎng)為16πcm，
∵圣誕帽的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，
∴扇形的弧長(zhǎng)是16π，
設(shè)扇形是圓心角為n，

nπ×42

180

=16π，
解得n≈69，
則扇形的圓心角是69°；

（2）y=-

4

3

x+

26

3

，由y≥0，得x的最大值是

13

2

，最小值是0．
顯然，x、y必須取整數(shù)，才不會(huì)浪費(fèi)紙張．
由x=1時(shí)，y=

22

3

；x=2時(shí)，y=6；x=3時(shí)，y=

14

3

；
x=4時(shí)，y=

10

3

x=5時(shí)，y=2；x=6時(shí)，y=

2

3

故A、B兩種規(guī)格的紙片各買6張、2張或2張、5張時(shí)，才不會(huì)浪費(fèi)紙張．
（3）正方形的面積為79×79=6241，圓錐的側(cè)面展開圖的面積為π×8×42≈1055，
∴可以截的扇形的個(gè)數(shù)為：6241÷1055≈5，但畫出草圖后可得只有4個(gè)．
裁剪草圖，如圖

設(shè)相鄰兩個(gè)扇形的圓弧相交于點(diǎn)P，則PD=PC，
過點(diǎn)P作DC的垂線PM交DC于M，
則CM=

1

2

DC=

1

2

×79=39.5，又CP=42，
∴cos∠MCP=

CM

CP

=

39.5

42

，
∴∠MCP=20°＜（90°-69°），
又42+42＜79

2

，所以這樣的裁剪草圖是可行的．

點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的底面周長(zhǎng)等于圓錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)；在較大的紙張上裁剪較小的圖形，應(yīng)從實(shí)際出發(fā)思考．