Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿拋物線的對稱軸向下運動，連OM，BM，設(shè)運動時間為t秒（t=0），在點M的運動過程中，當∠OMB=90°時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把A（1，0）、B（3，0）代入y=ax²+bx-2，即可得到結(jié)果；
（2）由y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$，得到D（2，$\frac{2}{3}$），設(shè)M（2，m），根據(jù)勾股定理列方程得到M（2，-$\sqrt{2}$），于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b-2}\\{0=9a+3b-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2；
（2）∵y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=-$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$，
∴D（2，$\frac{2}{3}$），
設(shè)M（2，m），
∵O（　�。�，0），B（3，0），
∵∠OMB=90°，
∴OM²+BM²=OB²，
即m²+2²+（3-2）²+m²=9，
∴m=$±\sqrt{2}$，
∵$\sqrt{2}$＞$\frac{2}{3}$，
∴M（2，-$\sqrt{2}$），
∴DM=$\sqrt{2}$+$\frac{2}{3}$，
∴t=$\sqrt{2}$+$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、拋物線與x軸的交點，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的圖象與圖象上點的坐標之間的關(guān)系．