【答案】
分析:(1)四邊形PECF的形狀是正方形,易證四邊形PECF是矩形,由角平分線的性質(zhì)可知:PE=PF,所以四邊形PECF是正方形;
(2)先根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的作法作出P點(diǎn),過點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥CB,垂足為E、F,由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF,再由全等三角形的性質(zhì)即可判斷出△PAB是等腰直角三角形;
(3)如圖4,在Rt△PAB中,∠APB=90°,PA=PB,PA=m,所以AB=
PA=
,由(2)中的證明過程可知,Rt△AEP≌Rt△BFP,可得AE=BF,CE=CF,所以CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE,又PC=n,所以在正方形PECF中,CE=
PC=
n.所以CA+CB=2CE=
.進(jìn)而求出△ABC的周長;
(4)因?yàn)椤?=∠2=∠3=∠4=45°,且∠ADC=∠PDB,所以△ADC∽△PDB,故
,即
,…①同理可得,△CDB∽△ADP,得到
,…②又PA=PB,則①+②得:
=
=
=
,所以這個值仍不變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192157739367414/SYS201311011921577393674022_DA/12.png">.
解答:解:(1)四邊形PECF的形狀是正方形,理由如下:
過點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥CB,垂足分別為E、F(如圖4)
∵∠ACB=90°,又由作圖可知PE⊥AC、PF⊥CB,
∴四邊形PECF是矩形,
又∵點(diǎn)P在∠ACB的角平分線上,
且PE⊥AC、PF⊥CB,
∴PE=PF,
∴四邊形PECF是正方形;
(2)證明:在Rt△AEP和Rt△BFP中,
∵PE=PF,PA=PB,∠AEP=∠BFP=90°,
∴Rt△AEP≌Rt△BFP,
∴∠APE=∠BPF,
∵∠EPF=90°,從而∠APB=90°.
又因?yàn)镻A=PB,
∴△PAB是等腰直角三角形;
(3)如圖4,在Rt△PAB中,∠APB=90°,PA=PB,PA=m,
∴AB=
PA=
.
由(2)中的證明過程可知,Rt△AEP≌Rt△BFP,可得AE=BF,CE=CF,
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE,又PC=n,
∴在正方形PECF中,CE=
PC=
n.
∴CA+CB=2CE=
.
∴△ABC的周長為:AB+BC+CA=
+
;
(4)當(dāng)邊AC、BC的長度變化時,
的值不變,
.理由如下:
如圖4,∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°,且∠ADC=∠PDB,
∴△ADC∽△PDB,故
,即
,…①
同理可得,△CDB∽△ADP,得到
,…②
又PA=PB,則①+②得:
=
=
=
.
∴這個值仍不變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192157739367414/SYS201311011921577393674022_DA/29.png">.
點(diǎn)評:本題考查的是相似形綜合題,涉及到角平分線及線段垂直平分線的作法及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的面積公式,涉及面較廣,難度較大.