【題目】如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(一1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)判斷ABC的形狀,證明你的結(jié)論;

(3)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)ACM周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo)及ACM的最小周長(zhǎng).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2x﹣2.頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(,﹣);(2)ABC是直角三角形.(3)3

【解析】

試題分析:(1)直接將(﹣1,0),代入解析式進(jìn)而得出答案,再利用配方法求出函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)分別得出AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出即可;

(3)利用軸對(duì)稱最短路線求法得出M點(diǎn)位置,再求ACM周長(zhǎng)最小值.

解:(1)點(diǎn)A(﹣1,0)在拋物線y=x2+bx﹣2上,

×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,

解得:b=﹣,

拋物線的解析式為y=x2x﹣2.

y=(x﹣2,

頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(,﹣);

(2)當(dāng)x=0時(shí)y=﹣2,C(0,﹣2),OC=2.

當(dāng)y=0時(shí),x2x﹣2=0,

解得:x1=﹣1,x2=4,

B (4,0),

OA=1,OB=4,AB=5.

AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

AC2+BC2=AB2

∴△ABC是直角三角形.

(3)如圖所示:連接AM,

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B,BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M,根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知,

MC+MA的值最小,即ACM周長(zhǎng)最小,

設(shè)直線BC解析式為:y=kx+d,則,

解得:

故直線BC的解析式為:y=x﹣2,

當(dāng)x=時(shí),y=﹣,

M,﹣),

ACM最小周長(zhǎng)是:AC+AM+MC=AC+BC=+2=3

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(1)求證:AD=BE;
(2)試說(shuō)明AD平分∠BAE;
(3)如圖2,將△CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度,那么AD與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化,說(shuō)明理由.

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