Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACM周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及△ACM的最小周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2．頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，﹣）；（2）△ABC是直角三角形．（3）3．

【解析】

試題分析：（1）直接將（﹣1，0），代入解析式進(jìn)而得出答案，再利用配方法求出函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）分別得出AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出即可；

（3）利用軸對(duì)稱最短路線求法得出M點(diǎn)位置，再求△ACM周長(zhǎng)最小值．

解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線y=x2+bx﹣2上，

∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，

解得：b=﹣，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2．

y=（x﹣）2﹣，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，﹣）；

（2）當(dāng)x=0時(shí)y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣x﹣2=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴B （4，0），

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是直角三角形．

（3）如圖所示：連接AM，

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，

MC+MA的值最小，即△ACM周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線BC解析式為：y=kx+d，則，

解得：，

故直線BC的解析式為：y=x﹣2，

當(dāng)x=時(shí)，y=﹣，

∴M（，﹣），

△ACM最小周長(zhǎng)是：AC+AM+MC=AC+BC=+2=3．