【題目】如圖,C為以AB為直徑的⊙O上一點,AD和過點C的切線互相垂直,垂足為點D.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=3,求⊙O的半徑長.
【答案】(1)證明:連結OC(如圖所示)
則∠ACO=∠CAO (等腰三角形,兩底角相等)
∵CD切⊙O于C,∴CO⊥CD.
又∵AD⊥CD
∴AD∥CO
∴∠DAC=∠ACO (兩直線平行,內錯角相等)
∴∠DAC=∠CAO
∴AC平分∠BAD ----------------5分
(2)過點E畫OE⊥AC于E(如圖所示)
在Rt△ADC中,AD==6
∵OE⊥AC, ∴AE=AC=
∵ ∠CAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=Rt∠
∴△AEO∽△ADC
∴即
∴AO=即⊙O的半徑為. ----------------5分
【解析】試題分析:(1)首先連接OC,由CD切⊙O于C,根據切線的性質,可得OC⊥CD,又由AD⊥CD,可得OC∥AD,又由OA=OC,易證得∠DAC=∠CAO,即AC平分∠BAD;
(2)首先過點O作OE⊥AC于E,由CD=3,AC=3,在Rt△ADC中,利用勾股定理即可求得AD的長,由垂徑定理,即可得AE的長,然后易證得△AEO∽△ADC,根據相似三角形的對應邊成比例,即可求得⊙O的半徑長.
試題解析:(1)證明:連接OC,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO,
∵CD切⊙O于C,
∴CO⊥CD.
又∵AD⊥CD,
∴AD∥CO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴∠DAC=∠CAO,
∴AC平分∠BAD;
(2)解:過點O作OE⊥AC于E,
∵CD=3,AC=3,
在Rt△ADC中,AD=,
∵OE⊥AC,
∴AE=AC=,
∵∠CAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=90°,
∴△AEO∽△ADC,
∴,
即,
∴AO=,
即⊙O的半徑為.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,把△ABC沿DE折疊,使點A落在四邊形BCDE內部的點A'處.
(1)寫出圖中一對全等的三角形,并寫出它們的所有對應角.
(2)設∠AED的度數為x,∠ADE的度數為y,那么∠1,∠2的度數分別是多少(用含有x或y的式子表示)?
(3)∠A與∠1+∠2之間有一種數量關系始終保持不變,請找出這個規(guī)律.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關系查閱資料時,發(fā)現了“中垂三角形”,即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是△ABC的中線,AM⊥BN于點P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BC=a,AC=b,AB=c.
【特例探究】
(1)如圖1,當tan∠PAB=1,c=4時,a= ,b= ;
如圖2,當∠PAB=30°,c=2時,a= ,b= ;
【歸納證明】
(2)請你觀察(1)中的計算結果,猜想a2、b2、c2三者之間的關系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結論.
【拓展證明】
(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點,且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點G,AD=3,AB=3,求AF的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(一1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結論;
(3)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,當△ACM周長最小時,求點M的坐標及△ACM的最小周長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AC和BD相交于O點,若OA=OD,用“SAS”證明△AOB≌△DOC還需( )
A.AB=DC
B.OB=OC
C.∠C=∠D
D.∠AOB=∠DOC
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=20cm,AC=12cm,點P從點B出發(fā)以每秒3cm速度向點A運動,點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm速度向點C運動,其中一個動點到達端點,另一個動點也隨之停止,當△APQ是以PQ為底的等腰三角形時,運動的時間是秒.
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