【題目】如圖,在等邊△ABC中,線段AM為BC邊上的中線.動點D在直線AM上時,以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE,連結(jié)BE.
(1)求∠CAM的度數(shù);
(2)若點D在線段AM上時,求證:△ADC≌△BEC;
(3)當動D在直線AM上時,設直線BE與直線AM的交點為O,試判斷∠AOB是否為定值?并說明理由.
【答案】(1)30°;(2)答案見解析;(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD,根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC;
(3)分情況討論:當點D在線段AM上時,如圖1,由(2)可知△ACD≌△BCE,就可以求出結(jié)論;當點D在線段AM的延長線上時,如圖2,可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出結(jié)論;當點D在線段MA的延長線上時,如圖3,通過得出△ACD≌△BCE同樣可以得出結(jié)論.
(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°.
∵線段AM為BC邊上的中線,∴∠CAM∠BAC,∴∠CAM=∠BAM=30°.
(2)∵△ABC與△DEC都是等邊三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中,∵,∴△ACD≌△BCE(SAS);
(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°.理由如下:
①當點D在線段AM上時,如圖1,由(2)可知△ACD≌△BCE,則∠CBE=∠CAD=30°,又∠ABC=60°,∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°.
∵△ABC是等邊三角形,線段AM為BC邊上的中線,∴AM平分∠BAC,即,∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
②當點D在線段AM的延長線上時,如圖2.
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠CBE=∠CAD=30°.
由(1)得:∠BAM=30°,∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
③當點D在線段MA的延長線上時.
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠CBE=∠CAD.
由(1)得:∠CAM=30°,∴∠CBE=∠CAD=150°,∴∠CBO=30°,∠BAM=30°,∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
綜上所述:當動點D在直線AM上時,∠AOB是定值,∠AOB=60°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù),完成下列各題:
將函數(shù)關系式用配方法化為的形式,并寫出它的頂點坐標、對稱軸.
在直角坐標系中,畫出它的圖象.
根據(jù)圖象說明:當取何值時,隨的增大而增大?
當取何值時,?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,PO⊥AB,PE是⊙O的切線,交AB的延長線于點C,切點為E,AE交PO于點F.
(1)求證:PEF是等腰三角形;
(2)在圖中,作EH⊥AB,垂足為H,作弦BD∥PC,交EH于點G.若EG=5,sinC=,求直徑AB的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一筆直的公路連接M,N兩地,甲車從M地駛往N地,速度為60km/h,乙車從M地駛往N地,速度為40km/h,丙車從N地駛往M地,速度為80km/h,三輛車同時出發(fā),先到目的地的車停止不動.途中甲車發(fā)生故障,于是停車修理了2.5h,修好后立即按原速駛往N地.設甲車行駛的時間為t(h),甲、丙兩車之間的距離為S1(km).甲、乙兩車離M地的距離為S2(km),S1與t之間的關系如圖1所示,S2與t之間的關系如圖2所示.根據(jù)題中的信息回答下列問題:
(1)①圖1中點C的實際意義是 ;
②點B的橫坐標是 ;點E的橫坐標是 ;點Q的坐標是 ;
(2)請求出圖2中線段QR所表示的S2與t之間的關系式;
(3)當甲、乙兩車距70km時,請直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列,如南宋數(shù)學家楊輝(約13世紀)所著的《詳解九章算術(shù)》一書中,用如圖所示的三角形解釋二項式乘方(a+b)n的展開式的各項系數(shù),此三角形稱為“楊輝三角”.根據(jù)“楊輝三角”請計算(a+b)64的展開式中第63項的系數(shù)為_____.
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【題目】教材呈現(xiàn):如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第96頁的部分內(nèi)容.
請根據(jù)教材中的分析,結(jié)合圖①,寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程.
定理應用:
如圖②,在四邊形ABCD中,∠B=∠C,點E在邊BC上,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.
(1)求證:BE=CE.
(2)若四邊形ABCD的周長為24,BE=2,面積為30,則△ABE的邊AB的高的長為_______.
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【題目】如圖,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(﹣3,﹣3).
(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;
(2)把直線OA向上平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點B(﹣6,m),與x軸交于點C,求m的值和直線BC的表達式;
(3)在(2)的條件下,直線BC與y軸交于點D,求以點A,B,D為頂點的三角形的面積;
(4)在(3)的條件下,點A,B,D在二次函數(shù)的圖象上,試判斷該二次函數(shù)在第三象限內(nèi)的圖象上是否存在一點E,使四邊形OECD的面積S1與四邊形OABD的面積S滿足:S1=S?若存在,求點E的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】觀察與思考:閱讀下列材料,并解決后面的問題
在銳角△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,過A作AD⊥BC于D(如圖(1)),則sinB=,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即,同理有:,,所以.
即:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中,若已知三個元素(至少有一條邊),運用上述結(jié)論和有關定理就可以求出其余三個未知元素.
根據(jù)上述材料,完成下列各題.
(1)如圖(2),△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,則∠A= ;AC= ;
(2)自從去年日本政府自主自導“釣魚島國有化”鬧劇以來,我國政府靈活應對,現(xiàn)如今已對釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏.某次巡邏中,如圖(3),我漁政204船在C處測得A在我漁政船的北偏西30°的方向上,隨后以40海里/時的速度按北偏東30°的方向航行,半小時后到達B處,此時又測得釣魚島A在的北偏西75°的方向上,求此時漁政204船距釣魚島A的距離AB.(結(jié)果精確到0.01,≈2.449)
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【題目】閱讀下面材料:
在學習《圓》這一章時,老師給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題:
尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線.
已知:P為⊙O外一點.
求作:經(jīng)過點P的⊙O的切線.
小敏的作法如下:如圖,
(1)連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C.
(2)以點C為圓心,CO的長為半徑作圓,交⊙O于A,B兩點.
(3)作直線PA,PB.
老師認為小敏的作法正確.
請回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是 ;由此可證明直線PA,PB都是⊙O的切線,其依據(jù)是 .請寫出證明過程.
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