Question

（本題滿分12分）問題提出：平面內(nèi)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．那么平面內(nèi)的四點(diǎn)(任意三點(diǎn)均不在同一直線上），能否在同一個(gè)圓呢？

初步思考：設(shè)不在同一條直線上的三點(diǎn)、、確定的圓為⊙．

（1）當(dāng)、在線段的同側(cè)時(shí)，

如圖①，若點(diǎn)在⊙上，此時(shí)有，理由是 ；

如圖②，若點(diǎn)在⊙內(nèi)，此時(shí)有 ；

如圖③，若點(diǎn)在⊙外，此時(shí)有 ．（填“”、“”或“”）；

由上面的探究，請(qǐng)直接寫出、、、四點(diǎn)在同一個(gè)圓上的條件： ．

類比學(xué)習(xí)：（2）仿照上面的探究思路，請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)、在線段的異側(cè)時(shí)的情形．

如圖④，此時(shí)有 ，如圖⑤，此時(shí)有 ，

如圖⑥，此時(shí)有 ．

由上面的探究，請(qǐng)用文字語言直接寫出、、、四點(diǎn)在同一個(gè)圓上的條件：

．

拓展延伸：（3）如何過圓上一點(diǎn)，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？

已知：如圖，是⊙的直徑，點(diǎn)在⊙上，求作：．

作法：①連接，；

②在 上任取異于、的一點(diǎn)，連接，；

③與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、，交于點(diǎn)；

④連接、并延長(zhǎng)，交直徑于；

⑤連接、并延長(zhǎng)，交⊙于N．連接． 則．

請(qǐng)按上述作法在圖④中作圖，并說明的理由．（提示：可以利用（2）中的結(jié)論）

Answer 1

（1）同弧所對(duì)的圓周角相等，，，答案不唯一，如：；

（2），，，若四點(diǎn)組成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則這四點(diǎn)在同一圓上；

（3）如圖即為所作，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中所給的圖，是非常熟悉的同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角，故相等，后面兩空可取特殊情況作判斷，第四空可根據(jù)圖①寫出條件，但答案不唯一；（2）仿照（1）中對(duì)點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系展開討論，可以結(jié)合圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到圖④的結(jié)論，后面兩空同樣可以取特殊情況判斷；（3）按部就班作圖不難，而在證明垂直過程中，根據(jù)提示要用到（2）的結(jié)論，即對(duì)角互補(bǔ)時(shí)四點(diǎn)共圓，故可結(jié)合圓的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形中位線逆定理、平行線性質(zhì)等予以證明.

試題解析：（1）同弧所對(duì)的圓周角相等，，，答案不唯一，如：；

（2）如圖即為所作.

此時(shí)，此時(shí)，此時(shí)；

（3）如圖即為所作.

是⊙的直徑，、在⊙上 ，

點(diǎn)是三條高的交點(diǎn) ， 點(diǎn)、、、在同一個(gè)圓上

又點(diǎn)、、、在⊙上 ，

考點(diǎn)：1.分類討論；幾何作圖；3. 圓的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形中位線逆定理、平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用.