Question

如圖，直角坐標系中，以點A（1，0）為圓心畫圓，點M（4，4）在⊙A上，直線y=-

3

4

x+b過點M，分別交x軸、y軸于B、C兩點．
（1）求⊙A的半徑和b的值；
（2）判斷直線BC與⊙A的位置關系，并說明理由；
（3）若點P在⊙A上，點Q是y軸上C點下方的一點，當△PQM為等腰直角三角形時，請直接寫出滿足條件的點Q坐標．

Answer 1

分析：（1）由圖可得，AM²=AC²+MC²，且AC=3，MC=4，代入可得；
（2）只要證明AB²=AM²+BM²，由圖可得出，BM²=MC²+BC²，由AB=

25

3

，MC=4，BC=

16

3

，代入即可求出；
（3）題目分為3種情況：①PQ=QM，②PM=MQ，③PQ=PM；點M（4，4），點P（5cosA，5sinA），Q（0，y）；

解答：解：（1）連接AM，作MD⊥OB，由點M（4，4），A（1，0），
∴|AM|=

(4-1)2+42

=5，
即，⊙A的半徑為5；
把點M（4，4）代入y=-

3

4

x+b得，4=-

3

4

×4+b，
解得，b=7；

（2）由圖得，0=-

3

4

x+7，得x=

28

3

，
即OB=

28

3

，
∴AB=

28

3

-1=

25

3

，BD=

28

3

-4=

16

3

，
∴AM²+MB²=5²+4²+(

16

3

)2=69

4

9

，
AB²=(

25

3

)2=69

4

9

，
∴∠AMB=90°，
∴直線BC與⊙A相切；

（3）①當∠PQM=90°時，
∵M（4，4），
∴∠MOB=45°，
∴過點M作MP⊥OB交⊙O于點P，
點Q與點O重合，
∴∠PQM=90°；
∴Q（0，0）；
②過點M作MN⊥y軸，MD⊥x軸，
當△MNQ≌△MDP時，∠PMQ=90°，
∴NQ=PD=2，MQ=MP，
∴Q（0，2）；
③當∠QPM=90°時，P在y的左方，如圖，設P（m，n），Q（0，b）可得：
（I）4-m=n-b，（II）4-n=-m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程組得，b=2，b=-8（b=2也符合條件，雖與②中b同，但直角不同），
第二情況：P在y的右方，同理得：
（I）m-4=n-b，（II）4-n=m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程組得，b=3+

41

（舍去），b=3-

41

．
綜合上述：Q的坐標是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-

41

）．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應用，題中運用圓與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．考查了同學們綜合運用所學知識的能力，是一道綜合性較好的題目．